27. Третий признак равенства треугольников по трём сторонам

Определения и обозначения

Третий признак равенства треугольников гласит: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Например, если AB = DE, BC = EF и AC = DF, то △ABC = △DEF. Признак нужен, чтобы доказать равенство треугольников, не проверяя отдельно их углы.

Соответственные стороны — стороны двух треугольников, которые сопоставляются друг другу при проверке равенства. Так, в △ABC и △DEF можно сопоставить AB и DE, BC и EF, AC и DF. Это понятие помогает установить, какие равенства требуется проверить и в каком порядке записать вершины.

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении совмещаются; их соответственные стороны и углы равны. Чтобы убедиться в этом, достаточно правильно совместить одну сторону и определить, где окажется третья вершина. Понятие равенства связывает применение признака с выводами о длинах сторон и величинах углов.

Как это устроено

Сначала нужно выбрать два треугольника и сопоставить их вершины, а значит, и стороны. Это делают по условию задачи: если, например, AB = DE, то стороны AB и DE рассматривают как одну пару. Правильное сопоставление необходимо, потому что равенство сторон в другой паре треугольников ещё не доказывает равенство именно тех фигур, которые требуется сравнить.

Равенство трёх сторон однозначно задаёт форму треугольника. Представьте, что одна сторона уже совмещена с равной ей стороной другого треугольника. Третья вершина должна находиться от одного конца этой стороны на расстоянии, равном одной из оставшихся сторон, а от другого конца — на расстоянии, равном другой. Поэтому подходящее положение вершины определяется заданными длинами, и треугольники при совмещении совпадают.

Так объясняется доказательство признака наложением. Совместим треугольники по одной паре равных сторон так, чтобы их концы совпали. По равенству двух других пар сторон оставшиеся вершины окажутся на одинаковых расстояниях от обоих концов общей стороны. Значит, вершины совпадут, а вместе с ними совпадут и сами треугольники.

Если треугольники равны, то при наложении совпадают не только их стороны, но и углы. Например, если △ABC = △DEF, причём A соответствует D, B соответствует E, а C соответствует F, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F. Порядок букв здесь показывает, какие именно углы можно сравнивать.

В решении сначала найдите треугольники, о которых спрашивает задача, и установите порядок соответствующих вершин. Затем выпишите три пары сторон и объясните, откуда следует равенство каждой пары. Только после этого сформулируйте вывод со ссылкой на третий признак; такой порядок делает доказательство понятным и проверяемым.

Третий признак равенства треугольников

Пользуйтесь таблицей как планом доказательства: заполните её сверху вниз, не пропуская ни одной пары сторон. В последней строке запишите вывод только после того, как обоснованы все три равенства. Такой порядок помогает проверить и соответствие вершин, и полноту рассуждения.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF известно: AB = DE, BC = EF, AC = DF. Докажите, что треугольники равны. Данные сразу показывают соответствие сторон: AB и DE, BC и EF, AC и DF. Общие вершины этих сторон задают порядок A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

1. Рассмотрим △ABC и △DEF.
2. По условию AB = DE, BC = EF и AC = DF.
3. Все три пары соответственных сторон равны, поэтому △ABC = △DEF по третьему признаку.

Ответ: △ABC = △DEF.

Задача 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = BO, CO = DO и AC = BD. Докажите равенство △AOC и △BOD. Сравним именно названные треугольники и проверим их стороны: две пары равенств даны, третья также дана в условии.

1. В △AOC сторона AO равна BO — стороне △BOD.
2. Сторона OC равна OD по условию, а AC равна BD по условию.
3. Три пары соответственных сторон равны, значит, △AOC = △BOD по третьему признаку.

Ответ: △AOC = △BOD.

Задача 3. В △ABC точка D лежит на AC, причём AB = DB и BC = DC. Докажите, что △ABC = △DBC, если AC = BC. Сопоставим вершины так, чтобы стороне AB соответствовала DB, а общей стороне BC — BC. Тогда оставшаяся пара сторон — AC и DC; равенство DC = BC дано, а AC = BC также дано.

1. Сравним △ABC и △DBC в порядке A ↔ D, B ↔ B, C ↔ C.
2. Стороны AB и DB равны по условию, BC и BC — общая сторона.
3. Из DC = BC и AC = BC следует AC = DC. Значит, △ABC = △DBC по третьему признаку.

Ответ: △ABC = △DBC. Доказательство использует только данные условия и общую сторону, а не вид чертежа.

Типичные ошибки

Можно сопоставить стороны в неверном порядке и записать равенство треугольников с неподходящим порядком вершин. Так бывает, если записывать буквы, не проверяя общие концы соответствующих сторон. Перед выводом выпишите пары сторон и убедитесь, что вершина, общая для двух сторон одного треугольника, соответствует общей вершине другой пары.

Ещё одна ошибка — считать достаточным равенство только двух пар сторон. Две длины не определяют третий признак, потому что он требует проверки всех трёх пар. Проверьте, что в доказательстве есть равенство каждой стороны одного треугольника соответствующей стороне другого.

Иногда равенство сторон принимают за доказанное, потому что на чертеже отрезки выглядят одинаковыми. Рисунок может быть выполнен неточно и сам по себе не подтверждает длины. Для каждого нужного равенства найдите основание: условие задачи, общую сторону или ранее доказанный факт.

Неправильный порядок букв в записи △ABC = △DEF тоже приводит к ошибке: он задаёт неверное соответствие вершин. Это случается, когда вывод пишут раньше, чем сравнили стороны. Проверьте по записи, что каждая сторона первого треугольника сопоставлена стороне второго, равенство которой доказано.

Связь с другими темами

Для работы с третьим признаком нужны обозначения треугольника, его вершин и сторон, а также понимание равенства геометрических фигур. Полезно уметь применять первый и второй признаки равенства треугольников и обосновывать равенство отрезков: эти навыки помогают выбирать подходящий способ доказательства. Сам третий признак пригодится в задачах, где требуется доказать равенство отрезков или углов: сначала устанавливают равенство треугольников, затем используют равенство их соответственных частей.

Что запомнить

• Третий признак сравнивает три пары соответственных сторон.
• Равенство трёх сторон достаточно для равенства треугольников.
• Соответствие вершин важно указывать в правильном порядке.
• Равенство треугольников позволяет заключить о равенстве соответственных углов.
• Равенства сторон должны быть обоснованы, а не просто выглядеть верными на рисунке.