3.2. Признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. Их соответствующие стороны и углы равны, а вершины соответствуют друг другу. Это понятие позволяет вместо сравнения фигур на глаз доказывать, что их элементы имеют одинаковые длины и величины.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Угол между сторонами называют заключённым между ними. Признак нужен, когда известны две длины и положение этих сторон друг относительно друга.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого, то треугольники равны. Прилежащие углы имеют данную сторону своей общей стороной. Такой признак помогает доказать равенство, когда известны длина стороны и углы у её концов.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. При сравнении важно сопоставить стороны правильно, чтобы каждая равная сторона соединяла соответствующие вершины. Этот признак удобен, когда известны длины всех трёх сторон, а углы искать не требуется.

Как это устроено

При наложении равных треугольников каждая вершина одного попадает в определённую вершину другого. Стороны, соединяющие эти вершины, тоже совпадают, поэтому длины соответствующих сторон равны, а совпадающие углы имеют одинаковую величину. Именно поэтому порядок букв в записи важен: запись △ABC = △DEF указывает пары A–D, B–E и C–F. Если перепутать соответствие, можно ошибочно сравнить несоответствующие стороны и углы.

В первом признаке длины двух сторон задают, насколько далеко находятся их концы от общей вершины. Одного этого недостаточно: стороны можно раздвинуть или сблизить, меняя форму фигуры. Угол между сторонами закрепляет их взаимное положение, и вместе заданные длины и угол определяют треугольник однозначно. Поэтому нужно проверить, что равный угол действительно расположен между именно теми двумя равными сторонами.

Во втором признаке два угла у концов стороны показывают направления, в которых отходят от неё две другие стороны. Если эти направления одинаковы в обоих треугольниках, то при равной длине общей стороны вершины окажутся на одинаковом расстоянии друг от друга. Так восстанавливается вся форма треугольника, а не только один его край. Проверяй, что указанная равная сторона прилежит к обоим названным углам в каждом треугольнике.

В третьем признаке длины всех трёх сторон фиксируют размеры треугольника и взаимное расстояние между его вершинами. Треугольник можно расположить по другую сторону от общей стороны, но тогда получится зеркальное отражение той же фигуры. Наложением такой треугольник тоже можно совместить с исходным, перевернув его. Поэтому равенство трёх соответствующих сторон гарантирует равенство треугольников.

Выбирай признак по данным задачи: сначала найди равные стороны и углы, затем проверь, совпадает ли их расположение с условием одного из трёх признаков. Запиши соответствие вершин, чтобы не перепутать элементы. После доказательства равенства треугольников можно использовать равенство всех их соответствующих сторон и углов. Так находят элементы, которые не были указаны в условии.

Признаки равенства треугольников

Сначала найди в условии задачи известные равные элементы, затем сравни их расположение с таблицей. Если условия признака выполнены полностью, можно сделать вывод о равенстве треугольников. Не заменяй условие признака похожим набором данных: например, угол для первого признака обязан быть между указанными сторонами.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D. Докажите, что треугольники равны.

1. Сопоставим вершины A и D, поскольку равные стороны AB и DE начинаются в этих вершинах, как и стороны AC и DF. Тогда B соответствует E, а C соответствует F. Это соответствие согласуется со всеми данными задачи.
2. Угол ∠A образован сторонами AB и AC. Угол ∠D образован сторонами DE и DF, значит, оба равных угла находятся между указанными равными сторонами. Проверка положения угла нужна, чтобы применить именно первый признак.
3. По условию AB = DE, AC = DF и ∠A = ∠D. Следовательно, выполнено условие первого признака: равны две стороны и угол между ними. Значит, △ABC = △DEF.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны по первому признаку.

Задача 2. В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Докажите, что треугольники равны.

1. По равенствам углов сопоставим вершины A и D, B и E. Тогда стороне AB соответствует DE, что совпадает с данным равенством сторон. Оставшиеся вершины C и F также соответствуют друг другу.
2. Проверим, где расположена равная сторона. Угол A имеет стороной AB, а угол B имеет стороной BA, то есть ту же сторону. Аналогично DE прилежит и к углам D и E.
3. Итак, одна соответствующая сторона и два прилежащих к ней угла равны. Это условие второго признака, поэтому △ABC = △DEF. Равенство всех элементов следует уже из равенства треугольников.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны по второму признаку.

Задача 3. В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, BC = EF и AC = DF. Докажите равенство треугольников, а затем установите, какие углы равны.

1. Сторонам AB, BC и AC соответственно равны DE, EF и DF. По общим вершинам этих сторон устанавливаем соответствие A–D, B–E, C–F. Например, AB и BC имеют общую вершину B, а соответствующие им DE и EF — вершину E.
2. Получены равенства трёх соответствующих сторон: AB = DE, BC = EF и AC = DF. Значит, выполнено условие третьего признака. Поэтому △ABC = △DEF.
3. Из соответствия вершин A–D, B–E, C–F заключаем, что соответствующие углы равны: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E и ∠C = ∠F. Эти равенства получены после доказательства, а не приняты как исходные данные.

Ответ: △ABC = △DEF по третьему признаку; ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Типичные ошибки

Нельзя просто написать, что два треугольника равны, не указав, какие вершины соответствуют друг другу. Ошибку допускают, когда ориентируются только на похожее расположение фигур на рисунке. Из-за неверного соответствия равные стороны можно сопоставить неправильно. Проверь себя: запиши пары вершин и убедись, что каждая данная сторона соединяет нужную пару.

Нельзя применять первый признак, если известен угол не между данными сторонами. Иногда ученик видит две равные стороны и равный угол и сразу выбирает этот признак, не проверяя их расположение. Но такой угол не закрепляет взаимное положение именно этих сторон. Найди вершину угла: обе нужные стороны должны выходить из неё.

Для второго признака равная сторона должна прилежать к обоим равным углам. Ошибка возникает, если сторона прилежит только к одному из них или ни к одному, хотя сами углы равны. В этом случае условие второго признака не выполнено. Проверь, что оба конца стороны являются вершинами указанных углов в каждом треугольнике.

Две стороны и любой один равный угол не всегда позволяют применить первый признак. Часто забывают проверить, заключён ли угол между этими сторонами, и считают, что достаточно самого набора «две стороны и угол». Если угол расположен иначе, вывод по первому признаку делать нельзя. Сначала отметь стороны угла и сравни их с двумя сторонами из условия.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать элементы треугольника и обозначения его вершин, сторон и углов. Также пригодятся понятия равных отрезков и равных углов: по ним записывают условия задачи. Признаки помогают доказывать равенство отрезков и углов, например в задачах о медианах, биссектрисах и высотах треугольника. Такие доказательства становятся основой для дальнейших геометрических рассуждений и построений.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Третий признак: три соответствующие стороны.
• Перед применением признака нужно установить соответствие вершин и элементов.
• После доказательства равенства треугольников можно заключить о равенстве всех соответствующих элементов.