"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Неравенство треугольника помогает понять, из каких трёх отрезков можно построить треугольник: сумма двух меньших должна быть больше наибольшего. Касательная имеет с окружностью одну общую точку, а радиус к этой точке перпендикулярен касательной. По расстоянию от центра до прямой или между центрами окружностей можно определить пересечение или касание. Эти правила нужны для построений и решения задач на длины и взаимное расположение фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство треугольника означает, что сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей. Например, для сторон a, b и c выполняются a + b > c, a + c > b, b + c > a. Это условие помогает понять, можно ли из трёх данных отрезков построить настоящий треугольник.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Касательная нужна, чтобы описывать положение прямой относительно окружности и находить расстояния от центра до прямой.
Внешнее касание окружностей — случай, когда окружности имеют одну общую точку и расположены вне друг друга. Если их радиусы равны r₁ и r₂, а расстояние между центрами равно d, то d = r₁ + r₂. Центры и точка касания лежат на одной прямой.
Внутреннее касание окружностей — случай, когда одна окружность находится внутри другой и они имеют одну общую точку. При этом d = |r₁ − r₂|. Меньшая окружность касается большей изнутри, а центры и точка касания снова расположены на одной прямой.
Пусть нужно пройти от одной вершины треугольника к другой. Движение по двум сторонам образует ломаный путь, а отрезок между этими вершинами идёт прямо. Прямая между двумя точками всегда короче любой ломаной, поэтому сумма двух сторон больше третьей. Равенство означало бы, что вершины лежат на одной прямой и треугольник исчезает.
Чтобы проверить три отрезка, сначала найдите самый длинный. Затем сложите два остальных и сравните их сумму с ним: если сумма больше, треугольник можно построить. Два других неравенства отдельно проверять не нужно, потому что сумма двух отрезков, включающая наибольший, автоматически больше каждого из них. Если сумма равна или меньше наибольшего отрезка, построение невозможно.
Радиус, проведённый из центра в точку касания, перпендикулярен касательной. Причина в том, что перпендикуляр является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, а точка касания находится на окружности на расстоянии ровно радиуса от центра. Поэтому расстояние от центра до касательной можно находить как длину этого радиуса.
Положение прямой относительно окружности определяется расстоянием d от центра до прямой и радиусом r. Если d < r, прямая проходит через внутреннюю область окружности и пересекает её в двух точках. При d = r кратчайший отрезок от центра до прямой становится радиусом, поэтому имеется одна общая точка. Если d > r, прямая расположена слишком далеко и общих точек нет.
Для двух окружностей сравнивают расстояние d между центрами с радиусами. При внешнем касании окружности соприкасаются снаружи, поэтому путь от одного центра через точку касания к другому равен r₁ + r₂. При внутреннем касании одна окружность помещается внутри другой, и разница расстояний до общей точки равна большему радиусу минус меньший: d = |r₁ − r₂|. В обоих случаях равенство даёт ровно одну общую точку.
| Случай | Условие | Геометрический результат |
|---|---|---|
| Три отрезка — стороны треугольника | Сумма длин любых двух отрезков больше третьего | Из отрезков можно составить треугольник |
| Прямая и окружность | Расстояние от центра до прямой равно радиусу | Прямая касается окружности |
| Прямая и окружность | Расстояние от центра до прямой меньше радиуса | Две общие точки |
| Прямая и окружность | Расстояние от центра до прямой больше радиуса | Общих точек нет |
| Две окружности, внешнее касание | Расстояние между центрами равно сумме радиусов | Одна общая точка |
| Две окружности, внутреннее касание | Расстояние между центрами равно разности радиусов | Одна общая точка |
Сначала определите, какие фигуры сравниваются, а затем найдите нужное расстояние: до прямой или между центрами. После этого сравните его с радиусом, суммой или разностью радиусов. Результат сравнения сразу подсказывает число общих точек или возможность построения треугольника.
Можно ли построить треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 9 см? Самый длинный отрезок имеет длину 9 см, поэтому именно его нужно сравнить с суммой двух меньших. Если это неравенство выполнено, остальные будут выполнены автоматически.
Ответ: да, можно.
Радиус окружности равен 5 см, расстояние от центра до прямой — 3 см. Нужно выяснить, насколько далеко прямая находится от центра по сравнению с границей окружности. Поскольку 3 меньше 5, прямая проходит через окружность, а не касается её.
Ответ: две общие точки.
Радиусы окружностей равны 7 см и 3 см. При внешнем касании окружности лежат рядом, поэтому между центрами помещаются оба радиуса. При внутреннем касании меньшая окружность находится внутри большей, поэтому расстояние получается разностью радиусов.
Ответ: а) 10 см; б) 4 см.
Первая ошибка — проверять только случайную пару сторон и не находить наибольшую. Такое сравнение может ничего не сказать о возможности построения. Найдите самый длинный отрезок и сравните его с суммой двух меньших.
Некоторые считают, что при расстоянии от центра до прямой, равном радиусу, прямая пересекает окружность в двух точках. На самом деле равенство означает, что прямая касается окружности. Запомните границу: d = r — одна общая точка, а d < r — две.
Внешнее и внутреннее касание иногда путают из-за похожих слов «сумма» и «разность». Представьте расположение окружностей: снаружи до точки касания складываются оба радиуса, а внутри один радиус вычитается из другого. Самопроверка проста: при внешнем касании расстояние обычно больше, при внутреннем — меньше большего радиуса.
Неверно говорить, что радиус к точке касания перпендикулярен любой прямой через эту точку. Это свойство относится только к касательной. Проверьте, что данная прямая имеет с окружностью одну общую точку, и только после этого применяйте перпендикулярность.
Для изучения темы нужны понятия треугольника, его сторон, окружности, радиуса, перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Без них трудно понять, какие величины сравниваются и почему появляются условия касания.
Неравенство треугольника используется в задачах на длины сторон и в доказательствах других геометрических неравенств. Оно также помогает быстро исключать невозможные варианты построения.
Свойства касательной и условия взаимного расположения окружностей пригодятся при геометрических построениях. Позже они помогут решать задачи, где нужно находить расстояния, углы и точки пересечения.
Почему для проверки треугольника достаточно проверить сумму двух меньших сторон?
Наибольшая сторона — самая строгая проверка: именно её нужно сравнить с суммой двух остальных. Если сумма двух меньших больше наибольшей, то она тем более больше каждой из меньших сторон.
Может ли сумма двух сторон треугольника быть равна третьей?
Нет. При равенстве треугольник вырождается в отрезок: три вершины оказываются на одной прямой. Для настоящего треугольника сумма двух сторон должна быть строго больше третьей.
Как определить, касается ли прямая окружности, если известны радиус и расстояние от центра до прямой?
Сравните расстояние d с радиусом r. Если d = r, прямая касается окружности; если d < r, она пересекает окружность в двух точках, а если d > r, общих точек нет.
Почему радиус в точку касания перпендикулярен касательной?
Кратчайшее расстояние от центра до прямой измеряется перпендикуляром. Если бы радиус к точке касания не был перпендикулярен прямой, существовал бы другой, более короткий путь от центра до этой прямой, а точка лежала бы не на границе касания.
Как не перепутать формулы расстояния между центрами при внешнем и внутреннем касании окружностей?
При внешнем касании окружности находятся рядом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: d = r₁ + r₂. При внутреннем касании одна окружность внутри другой, поэтому d = |r₁ − r₂|.
3.3. Неравенства в треугольнике. Касание окружности с прямой и окружностью
