§ 3. Признаки равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Их соответствующие стороны равны, и соответствующие углы тоже равны. Слово «соответствующие» указывает на элементы, которые совпали при наложении. Это понятие нужно, чтобы после доказательства равенства треугольников находить равные стороны и углы.

Соответственные вершины — это вершины двух треугольников, которые совпадают при наложении; стороны и углы, связанные с такими вершинами, тоже называют соответственными. Например, если A совпадает с A₁, B с B₁, а C с C₁, то стороне AB соответствует A₁B₁, а углу A — угол A₁. Соответствие устанавливают по условию и по расположению равных элементов. Это помогает верно записать равенство треугольников и не перепутать стороны.

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Угол между сторонами расположен при их общей вершине. Например, для сторон AB и AC это угол BAC. Признак позволяет доказать равенство всего треугольника, не сравнивая отдельно третью сторону и остальные углы.

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Прилежащими называют углы у концов этой стороны. Например, к стороне BC прилежат углы B и C. Этот признак нужен, когда известны сторона и углы при её концах.

Как это устроено

У треугольника три стороны и три угла, но для доказательства равенства не приходится каждый раз проверять все шесть элементов. Причина в том, что некоторые элементы уже определяют остальные: после совпадения нужных частей форма треугольника закреплена. Поэтому достаточно проверить подходящий набор равных элементов. Именно такие наборы сформулированы в признаках равенства.

Если известны две стороны и угол между ними, их можно представить как две «лучевые» стороны, выходящие из одной вершины. При фиксированных длинах сторон и величине угла их концы оказываются в определённых местах, а значит, треугольник задаётся однозначно с точностью до наложения. Поэтому второй треугольник с такими же двумя сторонами и углом между ними совпадёт с первым. Это и объясняет первый признак.

Для второго признака сначала берут данную сторону, а затем у её концов задают два прилежащих угла. Лучи, образующие эти углы со стороной, определяют направления двух других сторон. Их пересечение задаёт третью вершину, поэтому форма треугольника оказывается определённой. Если сторона и оба угла у её концов равны в двух треугольниках, то треугольники равны.

Прежде чем записывать равенство, нужно выяснить, какая вершина одного треугольника соответствует какой вершине другого. Для этого сопоставляют данные стороны и углы: равные стороны должны занять одинаковые места, а равные углы — оказаться при соответствующих вершинах. Затем буквы записывают в одном и том же порядке. Например, если A соответствует A₁, B — B₁ и C — C₁, пишут △ABC = △A₁B₁C₁.

В доказательстве сначала выделяют пары равных элементов и проверяют, как они расположены. Затем выбирают признак, в котором совпадают и вид элементов, и их взаимное положение. После этого записывают, что треугольники равны, и используют соответствие вершин для вывода о равенстве нужных сторон или углов. Такой порядок делает доказательство понятным и позволяет проверить каждый шаг.

Признаки равенства треугольников

Сначала проверьте, какие именно элементы равны, а затем — где они расположены относительно друг друга. Первый и второй признаки нельзя применять, если совпадает только набор элементов, но не их взаимное расположение. Последняя строка напоминает, что запись равенства должна отражать найденное соответствие вершин.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны AB и A₁B₁, AC и A₁C₁, а также угол BAC и угол B₁A₁C₁. Докажите равенство треугольников. Сначала сопоставим данные: стороны AB и AC сходятся в A, а A₁B₁ и A₁C₁ — в A₁. Значит, вершина A соответствует A₁, а B и C соответствуют B₁ и C₁. Угол между указанными сторонами тоже равен.

1. Выпишем равные стороны: AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.
2. Проверим угол: ∠BAC = ∠B₁A₁C₁, и он заключён между парами равных сторон.
3. Применим первый признак равенства треугольников.

Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁. Порядок букв показывает найденное соответствие вершин. Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Задача 2

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны BC и B₁C₁, углы B и B₁, а также углы C и C₁. Докажите равенство треугольников. Данная сторона BC имеет концы B и C, и именно при этих концах расположены два известных угла. В другом треугольнике соответствующая сторона B₁C₁ также ограничена вершинами известных углов. Значит, данные подходят для второго признака.

1. Запишем равенство сторон: BC = B₁C₁.
2. Сопоставим прилежащие углы: ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁.
3. Применим второй признак; соответствие вершин получается B↔B₁, C↔C₁, A↔A₁.

По второму признаку △ABC = △A₁B₁C₁. Ответ: треугольники равны, причём вершины записаны в соответствии друг с другом.

Задача 3

Точка M — середина отрезка AB. Известно, что углы AMO и BMO равны, а OM — общая сторона. Докажите равенство треугольников AMO и BMO и сделайте вывод о равенстве AO и BO. Середина делит отрезок на две равные части, поэтому AM = BM. Вместе с общей стороной OM это даёт две пары равных сторон. Проверим, что известный угол расположен между ними.

1. Из условия о середине получаем AM = BM.
2. Сторона OM общая, поэтому OM = OM; также ∠AMO = ∠BMO.
3. Указанные углы заключены между AM и OM, а также BM и OM; применяем первый признак.

Получаем △AMO = △BMO при соответствии A↔B, M↔M, O↔O. Следовательно, соответствующие стороны AO и BO равны. Ответ: △AMO = △BMO и AO = BO.

Типичные ошибки

• Первый признак применяют к равному углу, который не находится между указанными равными сторонами. Так ошибаются, замечая нужные три элемента, но не проверяя их расположение. Чтобы проверить себя, найдите общую вершину двух сторон и убедитесь, что именно при ней расположен данный угол.

• Для второго признака берут углы, которые не прилежат к данной стороне. Причина ошибки — смешение любых двух углов треугольника с углами у концов выбранной стороны. Отметьте концы стороны: требуемые углы должны находиться именно в этих вершинах.

• Треугольники записывают в неверном порядке, и тогда, например, равной стороне одного приписывают не ту сторону другого. Это происходит, если начать запись, не установив соответствие вершин. Проверьте каждую букву по равным углам и сторонам: соответствующие вершины должны стоять на одинаковых местах.

• Равенство двух сторон или двух углов принимают за достаточное доказательство равенства треугольников. Такой вывод делают, забывая, что признаки требуют определённых наборов элементов и их расположения. Сверьте условие задачи с формулировкой признака: двух сторон или двух углов для названных признаков недостаточно.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать, как устроен треугольник, как обозначают его вершины, стороны и углы, а также как сравнивать отрезки и углы. Эти обозначения помогают быстро выделить равные элементы и не перепутать их. Признаки используют в доказательствах, когда требуется установить равенство сторон или углов треугольников. Позже к ним добавится третий признак равенства, а сами приёмы пригодятся при доказательстве свойств других фигур.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Перед применением признака нужно правильно установить соответствие вершин.
• После доказательства равенства треугольников можно утверждать равенство их соответствующих элементов.