20. Первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении совмещаются; их соответствующие стороны и углы равны. Иначе говоря, один треугольник можно передвинуть или повернуть так, чтобы он точно совпал с другим. Это понятие позволяет переносить известные равенства с одной фигуры на другую.

Соответствующие вершины и стороны — элементы двух треугольников, которые совмещаются при наложении. Например, если вершина A совпадает с D, то A и D — соответствующие вершины, а стороны с этими концами нужно сопоставлять соответственно. Такое соответствие важно установить, чтобы не сравнить стороны, которые при наложении не совпадают.

Угол между двумя сторонами треугольника — угол, образованный этими сторонами. Например, между сторонами AB и AC находится угол BAC, его вершина A является общей для обеих сторон. В признаке нужен именно такой угол, потому что он показывает, как расположены друг относительно друга две заданные стороны.

Первый признак равенства треугольников утверждает: треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого. Это не просто удобное сокращение: условия гарантируют, что треугольники полностью совпадут при наложении. Признак помогает доказывать равенство фигур, не сравнивая все их элементы по отдельности.

Как это устроено

Прежде чем применять признак, нужно сопоставить вершины и элементы двух треугольников. Иначе можно случайно сравнить сторону одного треугольника со стороной другого, которая не будет ей соответствовать при наложении. Удобно начать с равных сторон и найти их общие концы: именно у таких концов расположен угол между сторонами. Это помогает проверить, что заданные равенства относятся к одним и тем же частям треугольников.

Представь, что одна сторона первого треугольника совмещена с равной ей стороной второго. Если совместить и вторые стороны, сохранив равенство углов между ними, стороны займут одинаковое положение относительно общей вершины. Поэтому совпадут две вершины и сторона, выходящая из них. Конец второй стороны тогда задаёт третью вершину, а оставшиеся стороны и углы определяются уже этим положением.

Именно поэтому равенства двух сторон и угла между ними достаточно: эти данные фиксируют форму и размер треугольника. Формулировка признака звучит так: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Слово «соответственно» означает, что каждая сторона и угол сопоставлены элементам, которые совместились бы при наложении. Одного совпадения числовых величин без такого соответствия недостаточно.

Запись равенства треугольников должна отражать установленное соответствие вершин. Например, запись △ABC = △DEF означает, что A соответствует D, B — E, а C — F. Поэтому сторона AB сопоставляется DE, сторона AC — DF, а угол BAC — EDF. Если записать те же буквы в другом порядке, запись может показать другое соответствие и привести к неверным выводам.

В доказательстве сначала указывают равенства двух пар сторон и углов, затем проверяют, что названный угол заключён между указанными сторонами в обоих треугольниках. После проверки формулируют вывод о равенстве треугольников по первому признаку. Такой порядок показывает, почему признак применим, а не просто называет его. После этого можно использовать равенство соответствующих элементов, чтобы доказать нужное равенство отрезков или углов.

Первый признак равенства треугольников

Пользуйся таблицей как проверкой перед доказательством: найди две пары соответствующих равных сторон. Затем убедись, что углы равны и каждый из них расположен между названными сторонами. Если все условия выполнены, можно сделать вывод о равенстве треугольников по первому признаку.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF равны AB и DE, AC и DF, угол BAC и угол EDF. Докажем, что треугольники равны. Сначала сопоставим элементы: A соответствует D, потому что именно при этих вершинах находятся названные углы. Стороны AB и DE, а также AC и DF образуют эти углы.

1. По условию AB = DE и AC = DF.
2. Также по условию угол BAC = угол EDF; каждый из этих углов заключён между указанными равными сторонами.
3. Значит, △ABC = △DEF по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны. Порядок букв показывает соответствие A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Поэтому, например, сторона BC соответствует EF.

Задача 2

В треугольниках MNP и RST равны MN и RS, MP и RT, а угол NMP равен углу SRT. Требуется доказать равенство треугольников и указать соответствующие вершины. Проверим положение углов: угол NMP находится при вершине M между MN и MP. Угол SRT расположен при R между RS и RT, то есть оба угла заключены между заданными парами сторон.

1. По условию MN = RS и MP = RT.
2. Угол NMP = угол SRT, причём M соответствует R, так как это вершины равных углов.
3. По первому признаку △MNP = △RST; оставшиеся вершины соответствуют N ↔ S и P ↔ T.

Ответ: треугольники равны, соответствие вершин — M ↔ R, N ↔ S, P ↔ T. Его подтверждают равенства MN = RS и MP = RT. Запись △MNP = △RST сохраняет именно этот порядок.

Задача 3

Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; AB = AD, а угол BAC равен углу CAD. Докажем, что BC = CD. Здесь важно рассмотреть именно треугольники ABC и ADC: сторона AC входит в оба, а заданные углы находятся при вершине A. Общий отрезок можно считать равным самому себе.

1. По условию AB = AD, а AC = AC, так как это одна и та же сторона.
2. Угол BAC = угол CAD по условию; они заключены между сторонами AB, AC и AD, AC соответственно.
3. Следовательно, △ABC = △ADC по первому признаку. Стороны BC и DC соответствуют друг другу.
4. У равных треугольников соответствующие стороны равны, поэтому BC = DC.

Ответ: BC = CD. Сначала признак доказывает равенство двух треугольников, а уже затем равенство искомых сторон следует из их соответствия. Это позволяет перейти от данных задачи к нужному выводу.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать достаточными равенства двух сторон и любого угла. Угол может оказаться не между этими сторонами, и тогда условие первого признака не выполнено. Так ошибаются, замечая нужные числовые равенства, но не проверяя расположение элементов. Проверь себя: у каждой вершины равного угла должны встречаться именно две сравниваемые стороны.

Вторая ошибка — неверно сопоставить вершины и записать треугольники в неподходящем порядке. Из-за этого равные стороны или углы в записи перестают соответствовать друг другу. Обычно это происходит, когда начинают писать равенство треугольников до проверки всех данных. Составь пары равных элементов и только после этого располагай буквы в записи.

Третья ошибка — объявить, что признак применён, не назвав все три пары элементов или не указав положение угла. Тогда читатель не может проверить, выполнены ли условия. Чтобы избежать этого, запиши равенства двух пар сторон и углов, а затем поясни, что угол заключён между этими сторонами. После этого сделай вывод по признаку.

Четвёртая ошибка — перепутать условие и вывод признака. Равенство треугольников позволяет заключить, что соответствующие элементы равны, но сначала нужно доказать равенство самих треугольников. Эту последовательность нарушают, когда искомое равенство стороны используют как уже известное. Проверь рассуждение: равенство треугольников должно быть обосновано до вывода о равенстве их сторон или углов.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что такое треугольник, сторона, угол и равные геометрические фигуры. Понадобится умение обозначать равные отрезки и углы, находить общую сторону и сопоставлять вершины. Это связывает тему с базовыми геометрическими обозначениями и чтением чертежей. В дальнейшем признак поможет доказывать равенство отрезков и углов, а также решать задачи на построение и доказательство.

Что запомнить

• Для первого признака сравнивают две стороны и угол между ними.
• Равные элементы должны быть соответственно сопоставлены.
• Угол должен быть заключён между двумя рассматриваемыми сторонами.
• Если условия признака выполнены, треугольники равны.
• Порядок букв в записи равенства треугольников показывает соответствие вершин.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.