3. Треугольник и окружность. Начальные сведения

Определения и обозначения

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих каждую пару этих точек. Точки называют вершинами, отрезки — сторонами, а углы между сторонами — углами треугольника. Например, в треугольнике ABC вершины — A, B и C, стороны — AB, BC и AC, углы — ∠A, ∠B и ∠C. Такие обозначения помогают точно указать, о какой части фигуры идёт речь.

Окружность — множество точек плоскости, одинаково удалённых от одной точки, называемой центром. Центр обычно обозначают заглавной буквой, например O, а окружность называют по центру: окружность с центром O. Все её точки образуют замкнутую линию. Это определение позволяет отличить окружность от других линий и задавать её с помощью расстояния до центра.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий её центр с любой точкой окружности. Если центр — O, а точка на окружности — A, радиус обозначают OA; его длину можно записать как OA или буквой r. Радиус показывает, насколько далеко окружность отстоит от центра. Он нужен, чтобы задавать окружность и сравнивать положение других точек с ней.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — особая хорда, которая проходит через центр. Например, если отрезок AB соединяет две точки окружности, он является хордой, а если при этом проходит через O — диаметром. Диаметр важен тем, что его длина связана с радиусом.

Как это устроено

Чтобы построить треугольник по определению, сначала выбирают три точки, не лежащие на одной прямой, а затем соединяют их отрезками. Если все точки лежали бы на одной прямой, отрезки не замкнули бы фигуру и треугольник не получился бы. В записи ABC порядок букв указывает на вершины, а сторона AB соединяет именно точки A и B. Стороны и углы обозначают согласованно, поэтому по записи можно понять, к какой части фигуры относится рассуждение.

Треугольники по сторонам различают, потому что равенства сторон показывают, как устроена фигура. Если равны все три стороны, треугольник равносторонний; если равны две, он равнобедренный; если ни одна пара сторон не равна, он разносторонний. Например, равенство AB = BC означает, что треугольник ABC равнобедренный. В таком случае третья сторона AC называется основанием, а противоположная ей вершина — вершиной при основании.

Окружность задаётся центром и радиусом: достаточно выбрать точку O и расстояние r, чтобы определить все точки, удалённые от O ровно на r. Именно поэтому окружность можно начертить циркулем: его иглу ставят в центр, а расстояние между иглой и карандашом задаёт радиус. Каждая точка проведённой линии находится от центра на одном и том же расстоянии. Если изменить радиус, получится окружность другого размера, даже если центр останется прежним.

Радиусы одной окружности равны, поскольку каждый из них измеряет одно и то же расстояние от общего центра до линии окружности. Диаметр проходит через центр, поэтому делится им на два отрезка от центра до окружности — два радиуса. Отсюда следует формула d = 2r, где d — длина диаметра, а r — длина радиуса. Например, диаметр вдвое длиннее радиуса, а радиус можно найти, разделив диаметр на два.

Положение точки относительно окружности определяют сравнением расстояния от неё до центра с радиусом. Если расстояние равно радиусу, точка находится на окружности, потому что удовлетворяет её определению. Если расстояние меньше радиуса, точка ближе к центру, чем линия окружности, и лежит внутри; если больше — она снаружи. Сравнение удобно выполнять по известным длинам, не обязательно сначала чертить фигуру.

Основные элементы окружности

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какой отрезок или точку рассматриваете, а затем сверьте его признак с описанием. Например, отрезок между двумя точками окружности — хорда, но для диаметра нужно дополнительно проверить, проходит ли он через центр. Для вычислений используйте связь d = 2r.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Определите вид треугольника по сторонам и назовите его вершину, противоположную основанию. Даны именно две равные стороны, значит, нужно проверить признак равнобедренного треугольника. Основанием в таком треугольнике является сторона, которая не входит в пару равных.

1. Сравниваем указанные стороны: AB = BC.
2. Равны две стороны, поэтому ABC — равнобедренный треугольник.
3. Третья сторона — AC, она является основанием. Напротив стороны AC находится вершина B.

Ответ: треугольник равнобедренный, его основание — AC, противоположная основанию вершина — B. Такой способ работает, потому что основание равнобедренного треугольника — сторона, отличная от двух равных сторон. Если бы равными оказались все три стороны, треугольник был бы равносторонним.

Задача 2. Радиус окружности равен 4 см. Найдите её диаметр. Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому его длина вдвое больше радиуса. Перед вычислением запишем нужную связь и подставим известную длину.

1. Используем формулу d = 2r.
2. Подставляем r = 4 см: d = 2 · 4 см.
3. Вычисляем: d = 8 см.

Ответ: диаметр равен 8 см. Проверить результат можно обратным действием: половина диаметра составляет 4 см, то есть заданный радиус. При записи ответа сохраняем единицы измерения, потому что вычисляли длину.

Задача 3. Расстояние от точки O до точки P равно 5 см. Определите положение P относительно окружности с центром O и радиусом 5 см. Здесь нужно сравнить расстояние OP с радиусом, а не судить о положении точки по её названию. Если эти величины совпадают, P удовлетворяет определению точки окружности.

1. Записываем расстояние: OP = 5 см.
2. Сравниваем с радиусом r = 5 см: OP = r.
3. По определению все точки окружности находятся от центра на расстоянии радиуса, значит, P лежит на окружности.

Ответ: точка P лежит на окружности. Равенство расстояния и радиуса отличает этот случай от двух других: меньшего расстояния для точки внутри и большего — для точки снаружи. Сначала найдите расстояние от центра до точки, а потом сравнивайте его с радиусом.

Типичные ошибки

Называть окружность кругом — значит смешивать границу и область внутри неё. Так происходит потому, что в обычной речи эти слова нередко используют как похожие, но в геометрии они обозначают разные фигуры. Окружность состоит только из линии, а круг включает также внутренние точки. Чтобы проверить себя, уточните, говорится ли о границе или о всей области.

Не всякая хорда является диаметром: для диаметра обязательно нужно условие, что отрезок проходит через центр. Эту ошибку допускают, когда ориентируются только на то, что отрезок соединяет две точки окружности. Проверьте, делит ли центр хорду на две части; если центр на отрезке не лежит, это не диаметр. Сам по себе большой размер хорды тоже не делает её диаметром.

При вычислениях иногда путают радиус и диаметр и используют неверное соотношение. Причина в том, что оба отрезка связаны с центром, но только диаметр проходит через него целиком и включает два радиуса. Запомните d = 2r, а значит, r = d ÷ 2. Для проверки сравните полученные длины: диаметр должен быть вдвое больше радиуса.

Нельзя объявлять треугольник равнобедренным, не уточнив, какие именно стороны сравниваются. Равенство двух углов само по себе не является определением равнобедренного треугольника, а равенство всех трёх сторон указывает на равносторонний вид. Ошибка возникает, когда вместо нужного признака используют знакомое слово «равны». Перечислите длины сторон и проверьте, равны ли ровно две или все три.

Связь с другими темами

Для работы с треугольниками и окружностями нужно знать, что такое точка, прямая и отрезок, а также уметь находить расстояние между точками. Равенство отрезков и углов пригодится, когда будут изучать признаки равенства треугольников: по ним сравнивают фигуры. Окружность используют при построениях циркулем, например для откладывания одинаковых расстояний. Её свойства также понадобятся при изучении вписанных и описанных фигур.

Что запомнить

• Треугольник имеет три вершины, три стороны и три угла.
• Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны.
• Все точки окружности равноудалены от её центра.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр равен двум радиусам.