"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Плоские кривые — это линии, расположенные в одной плоскости. Среди них бывают незамкнутые и замкнутые линии, а некоторые могут пересекать сами себя. Замкнутая ломаная ограничивает многоугольник, состоящий из сторон, вершин и части плоскости внутри. Окружность задаётся центром и одинаковым расстоянием до всех своих точек — радиусом. Эти понятия нужны для изучения фигур, периметров, углов и свойств окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Плоская кривая — это линия, целиком расположенная в одной плоскости. Примерами служат прямая, дуга, окружность и линия, нарисованная на листе бумаги. Это понятие помогает рассматривать форму линии без выхода в объёмное пространство.
Замкнутая кривая — кривая, у которой начало и конец совпадают. Если концы не совпадают, кривая называется незамкнутой. Такое различие нужно, чтобы понять, образует ли линия границу некоторой области.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Отрезки этой ломаной называют сторонами, а их общие концы — вершинами. По сторонам и вершинам можно описать форму многоугольника.
Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки, называемой центром. Отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности, называют радиусом. Обычно центр обозначают буквой O, а радиус, например, записывают как OA.
Кривые отличаются не только внешним видом, но и тем, как проходит линия. Она может идти от одной точки к другой, замыкаясь или оставаясь незамкнутой, а иногда пересекать саму себя. Поэтому одного взгляда на гладкость линии недостаточно: нужно проверить её положение, концы и возможные пересечения.
Ломаная получается из отрезков, соединённых последовательно: конец одного звена является началом следующего. У незамкнутой ломаной первый и последний концы различны, поэтому она не образует границы области. У замкнутой ломаной последний конец соединён с первым, и линия возвращается в исходную точку.
Замкнутая ломаная делит плоскость на ограниченную внутреннюю часть и внешнюю область. Именно замкнутая ломаная вместе с внутренней частью образует многоугольник, а не одна граница. Стороны соединяются в вершинах, поэтому их длины и взаимное расположение задают форму всей фигуры.
У окружности нет отдельных прямолинейных сторон: её граница плавно изгибается. Все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, поэтому радиус можно провести к любой из них. В отличие от окружности, многоугольник имеет углы в вершинах и границу из отрезков.
| Объект | Из чего состоит или как задаётся | Замкнут ли | Основные элементы |
|---|---|---|---|
| Плоская кривая | Линия, целиком лежащая в одной плоскости | Может быть замкнутой или незамкнутой | Точки линии, начало и конец |
| Замкнутая кривая | Плоская кривая с совпадающими началом и концом | Да | Линия, ограниченная область |
| Многоугольник | Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной | Граница замкнута | Стороны и вершины |
| Окружность | Точки, равноудалённые от центра | Да | Центр и радиусы |
Таблица помогает быстро определить, чем задан объект: общей формой линии, отрезками или расстоянием до центра. При сравнении сначала найдите границу, затем проверьте, замкнута ли она и какие элементы у неё есть.
Не путайте объект и его границу: у многоугольника есть внутренняя часть, а окружность сама является линией.
Определите, какие из изображённых линий являются плоскими кривыми, а какие — замкнутыми кривыми. Изображения здесь заменим проверкой свойств каждой линии.
Ответ: плоской называют линию, лежащую в одной плоскости, а замкнутой — линию с совпадающими началом и концом.
На рисунке дана замкнутая ломаная. Укажите ограниченный ею многоугольник, его вершины и стороны. Пусть вершины при обходе по границе обозначены A, B, C и D.
Ответ: многоугольник — это область внутри замкнутой ломаной вместе с её границей; вершины A, B, C, D, стороны AB, BC, CD, DA.
Точки A и B лежат на окружности с центром O, причём OA = 4 см. Требуется найти OB. Используем не форму рисунка, а определение окружности.
Ответ: OB = 4 см, потому что расстояние от центра окружности до любой её точки одинаково.
Многоугольник считают только замкнутой ломаной. Так забывают о внутренней части, потому что именно граница заметнее на чертеже. Проверьте себя: мысленно закрасьте область внутри — она тоже входит в многоугольник.
Любую ломаную называют многоугольником. Ошибка возникает из-за сходства фигур на рисунке. У многоугольника граница обязательно замкнута, поэтому сравните первый и последний концы ломаной.
Окружность путается с кругом. Обычно это происходит, когда словом называют и линию, и всю область внутри неё. Запомните проверку: только граница — окружность, граница вместе с внутренними точками — круг.
Радиусом считают только один выбранный отрезок. На рисунке часто показывают один радиус, но это лишь пример. Любой отрезок от центра до точки окружности является радиусом, и все такие отрезки равны.
Перед изучением темы нужно знать, что такое плоскость, точка, отрезок и расстояние между точками. Эти понятия позволяют понять, где расположена кривая, как построена ломаная и почему радиус является расстоянием.
Новые определения пригодятся при изучении видов многоугольников, периметра, углов и свойств окружности. Например, стороны помогут находить периметр, а радиус — решать задачи о взаимном расположении точек и окружностей.
Чем замкнутая кривая отличается от незамкнутой?
У замкнутой кривой начало и конец совпадают, поэтому она образует непрерывную границу. У незамкнутой кривой начало и конец находятся в разных точках.
Всегда ли замкнутая ломаная является многоугольником?
Замкнутая ломаная задаёт границу многоугольника, если её звенья соединены последовательно и образуют ограниченную часть плоскости. Сам многоугольник включает не только границу, но и область внутри неё.
Многоугольник — это только его граница или ещё и внутренняя часть?
Многоугольник включает замкнутую ломаную и ограниченную ею часть плоскости. Поэтому стороны и вершины образуют границу, а область внутри тоже является частью многоугольника.
Чем окружность отличается от круга?
Окружность — это только линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Круг состоит из окружности и всех точек внутри неё.
Почему все радиусы одной окружности равны?
По определению окружности расстояние от её центра до любой точки окружности постоянно. Каждый отрезок от центра до точки окружности имеет именно это расстояние, поэтому все радиусы равны.
2.4. Плоские кривые, многоугольники, окружность
