"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Угол — одна из основных фигур геометрии: он образуется двумя лучами с общим началом. Чтобы описать его точно, нужно учитывать не только лучи, но и область плоскости между ними. Углы обозначают буквами и измеряют в градусах. По градусной мере различают острые, прямые, тупые и развёрнутые углы; это помогает сравнивать их и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало лучей называется вершиной, а сами лучи — сторонами угла. Например, если лучи BA и BC начинаются в точке B, то B — вершина, а BA и BC — стороны. Это определение помогает находить угол на чертеже и отличать его от других фигур.
Внутренняя область угла — часть плоскости между его сторонами. Одни и те же лучи делят плоскость на две области, поэтому для точного описания важно понимать, какую из них имеют в виду. Например, стороны могут ограничивать и маленький угол, и оставшуюся большую часть плоскости. Указание нужной области не даёт перепутать эти углы.
Угол записывают с помощью символа ∠ и букв, например ∠ABC. В записи из трёх букв средняя буква обозначает вершину, а две крайние указывают на точки, лежащие на сторонах. Значит, у ∠ABC вершина находится в B. Такое обозначение позволяет понять, какие именно лучи образуют угол.
Градусная мера угла — число, показывающее его размер в градусах. Градус — единица измерения угла; его обозначают значком °, например 45°. Мера помогает сравнивать углы не только на глаз, но и точно. Чем больше градусная мера, тем больше выбранный угол при одинаковом способе отсчёта.
Чтобы получить угол, достаточно провести из одной точки два луча. Общая точка становится вершиной, а лучи задают границы фигуры. Но границы сами по себе не всегда определяют, о какой части плоскости идёт речь: между ними можно выбрать меньшую или большую область. Поэтому при изучении угла учитывают и его стороны, и выбранную внутреннюю область.
Угол можно назвать тремя буквами, поставив вершину в середину: например, ∠ABC. Буквы A и C обозначают точки на разных сторонах, а B указывает, где стороны начинаются. Иногда угол обозначают одной буквой вершины — ∠B. Это удобно, когда у B изображён только один угол; если углов несколько, такая запись не показывает, какой именно выбран.
Для измерения используют транспортир со шкалой в градусах. Сначала центр инструмента совмещают с вершиной угла, иначе начало отсчёта окажется не в нужной точке. Затем нулевую отметку располагают вдоль одной стороны: именно от неё измеряют поворот до второй стороны. На шкале выбирают ту последовательность делений, которая начинается с совмещённого нуля.
Градусная мера позволяет отнести угол к определённому виду. Острый угол меньше прямого, прямой равен 90°, а тупой шире прямого, но не доходит до развёрнутого. Развёрнутый угол образуют противоположно направленные лучи, поэтому его стороны лежат на одной прямой. Для уверенного определения полезно сверять измеренное значение с границами видов, а не полагаться только на рисунок.
Полный оборот соответствует возвращению луча в исходное положение после поворота вокруг вершины. Такой поворот делят на 360 равных частей, каждая часть составляет один градус, поэтому полный оборот равен 360°. Развёрнутый угол занимает половину оборота: луч поворачивается до положения, противоположного исходному. Следовательно, его мера равна 360° : 2 = 180°.
| Вид угла | Градусная мера | Как выглядит |
|---|---|---|
| Острый угол | Меньше 90° | Уже прямого угла |
| Прямой угол | Равен 90° | Стороны перпендикулярны |
| Тупой угол | Больше 90°, но меньше 180° | Шире прямого, но не развёрнутый |
| Развёрнутый угол | Равен 180° | Стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны |
Сначала сравни градусную меру с 90° и 180°, а затем найди подходящую строку. Если измерение сделано приблизительно, учитывай возможную погрешность транспортира. Внешний вид служит подсказкой, но точное отнесение к виду опирается на величину угла.
В записи ∠ABC средняя буква B сразу показывает место, где должны встретиться лучи. Буквы A и C указывают на точки на сторонах, поэтому сначала удобно отметить вершину, а затем задать направления двух лучей. После построения проверь, что оба луча начинаются именно в B.
Ответ: вершина угла ABC — точка B, его стороны — лучи BA и BC. Порядок крайних букв может поменяться: ∠CBA обозначает тот же угол, если выбрана та же область. Средняя буква при этом остаётся B.
Когда величина заранее неизвестна, нельзя надёжно определять вид угла только по тому, насколько широко он нарисован. Сначала нужно верно установить транспортир, а затем прочитать шкалу от нуля, совмещённого со стороной. Пусть после правильного измерения получено 125°: это значение можно сравнить с границами видов.
Ответ: угол равен 125° и является тупым. Если сторона пересекает другую шкалу, проверь, с какого нуля начинается отсчёт. Так можно избежать ошибки, когда выбирают число не с той стороны транспортира.
Если из O выходят несколько лучей, одной буквы O недостаточно: у этой вершины образуется несколько углов. Обозначение тремя буквами указывает, какие именно стороны нужно взять. Например, если выбран угол между лучами OA и OC, его можно записать как ∠AOC; меру следует брать из данных чертежа, а не угадывать по виду.
Ответ: выбранный угол обозначается ∠AOC, а при указанной мере 70° он острый. Если на чертеже приведены другие числовые данные, вместо 70° используют именно их. Уточнение точек на сторонах не позволяет случайно измерить соседний угол.
Иногда вершиной называют точку, расположенную где-то на стороне угла. Это происходит, если не проследить, откуда начинаются оба луча. Вершина всегда является их общим началом. Проведи взглядом по сторонам до конца: точка, из которой выходят обе, и есть вершина.
Другая ошибка — считать углом только два луча. Тогда теряется выбранная между ними область, хотя одинаковые стороны могут ограничивать разные углы. Такое происходит, когда смотрят лишь на линии чертежа. Проверь, о какой области говорится в условии и какой угол отмечен; при сомнении обозначь его точками на сторонах.
В обозначении из трёх букв иногда ставят вершину первой или последней, например называют ∠ABC углом с вершиной A. Путаница возникает, если забыть правило чтения записи. Средняя буква всегда указывает вершину, поэтому у ∠ABC это B. Для самопроверки подчеркни среднюю букву и убедись, что она совпадает с общей точкой лучей.
При работе с транспортиром можно прочитать деление не от нулевой отметки, а от противоположного края шкалы. Так происходит, когда не проверяют, какая шкала начинается у совмещённой стороны. В результате вместо нужного значения получают неверное число. До чтения найди отметку 0°, совпадающую со стороной, и отсчитывай от неё до второй стороны.
Для изучения углов нужно знать, что такое точка, луч и плоскость. Луч начинается в одной точке и продолжается в одном направлении, а плоскость помогает представить, где располагается область угла. Также пригодится умение пользоваться транспортиром: важно точно совместить центр и нулевую отметку.
Понятие угла потребуется при изучении смежных и вертикальных углов, а также при работе с треугольниками. Оно помогает описывать повороты и задавать направления при геометрических построениях. Умение обозначать и измерять углы станет основой для сравнения фигур и нахождения неизвестных величин.
Что именно называют углом: лучи или область между ними?
Угол задают два луча с общим началом и одна из областей плоскости между ними. Поэтому одного указания сторон иногда недостаточно: нужно понимать, какая именно область выбрана.
Почему вершину ставят в середине обозначения угла?
Средняя буква в записи из трёх букв показывает общую начальную точку лучей — вершину. Это правило помогает определить, какие лучи образуют угол.
Можно ли обозначить угол одной буквой?
Можно, если у вершины на чертеже изображён только один угол и нет риска перепутать его с другим. Если углов с этой вершиной несколько, лучше использовать три буквы.
Как понять, острый угол или тупой, не измеряя его?
Сравни его с прямым углом: острый выглядит уже прямого, а тупой — шире. Точно определить вид можно по градусной мере: острый меньше 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°.
Как правильно приложить транспортир к углу?
Поставь центр транспортира точно на вершину угла, а его нулевую отметку совмести с одной стороной. На шкале, начинающейся с этого нуля, найди место, где её пересекает вторая сторона.
2.3. Плоские углы
