2.2. Основные свойства прямой на плоскости

Определения и обозначения

Прямая — это бесконечная линия на плоскости, у которой нет ни начала, ни конца. Если на ней лежат точки A и B, её можно обозначить двумя заглавными буквами: прямая AB, или одной строчной буквой, например l. Две точки нужны, чтобы точно указать, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают, например, A и B, а сам отрезок — AB. В отличие от прямой, отрезок имеет конечную длину.

Луч — часть прямой, которая имеет начало и бесконечно продолжается в одну сторону. Луч с началом A, проходящий через точку B, обозначают AB, причём первой пишут букву начала. Второй точкой задают направление луча.

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её разделяет прямая. Сама прямая служит границей этих частей. Понятие полуплоскости нужно, чтобы описывать, по одну или по разные стороны прямой находятся точки.

Как это устроено

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Если попытаться провести через эти точки другую прямую, она должна будет иметь с первой две общие точки. Но две разные прямые не могут иметь две общие точки, поэтому второй прямой быть не может. Так две точки не просто лежат на прямой, а однозначно задают её.

Если две прямые имеют две различные общие точки, эти точки задают единственную прямую. Обе данные прямые проходят через них, значит, каждая из них является этой единственной прямой. Следовательно, прямые не пересекаются в двух отдельных местах, а полностью совпадают. Поэтому у различных прямых может быть не более одной общей точки.

Возьмём точку A на прямой. По разные стороны от A прямая продолжается бесконечно, поэтому из A можно выделить две части. Каждая часть имеет начало A и идёт только в одну сторону, то есть является лучом. Направления лучей противоположны: если один идёт вправо по прямой, другой идёт влево.

Прямая разделяет плоскость на две части, потому что при переходе через неё меняется сторона расположения точки. Точки, находящиеся в одной части, принадлежат одной полуплоскости, а точки по другую сторону — другой. Сама прямая является общей границей двух полуплоскостей.

Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, путь от одного конца к другому не может перейти из одной части плоскости в другую, не пересёкши их границу. Такой границей является прямая, значит, отрезок пересекает её. Если оба конца находятся в одной полуплоскости, отрезок целиком остаётся в ней и прямую не пересекает.

Основные свойства прямой на плоскости

В первом столбце ищите условие или объект, который дан в задаче. Во втором находится правило, которое нужно применить, а в третьем — вывод, который можно сделать. Такая схема помогает быстро выбрать нужное свойство и не перепутать его с определением.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B различны. Нужно определить, сколько прямых можно провести через них и как обозначить эту прямую. Здесь важно использовать именно условие о двух различных точках, а не рассуждать о прямых через одну точку.

1. Точки A и B задают две разные позиции на плоскости.
2. Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
3. Обозначим её по двум точкам: прямая AB.

Ответ: через точки A и B можно провести одну прямую — прямую AB.

Задача 2

Прямые a и b проходят через точки C и D. Точки C и D различны и являются общими для обеих прямых. Нужно понять, могут ли a и b оставаться разными.

1. Через C и D проходит единственная прямая.
2. Прямая a проходит через C и D, значит, она и есть эта единственная прямая.
3. Прямая b проходит через те же две точки, поэтому она совпадает с той же прямой.

Ответ: прямые a и b совпадают.

Задача 3

Точки A и B лежат по разные стороны от прямой l, а точка C находится на отрезке AB. Требуется доказать, что отрезок AB пересекает l. При этом точка пересечения может совпадать с C или находиться в другой точке отрезка.

1. Прямая l делит плоскость на две полуплоскости, поэтому A и B принадлежат разным полуплоскостям.
2. Отрезок AB соединяет точки, расположенные в разных полуплоскостях.
3. Чтобы попасть из одной полуплоскости в другую, отрезок должен пересечь их общую границу — прямую l.

Ответ: отрезок AB пересекает прямую l.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что через одну точку проходит только одна прямая. Так думают, потому что точка кажется уже заданным местом на линии, но через неё можно провести множество прямых разных направлений. Проверяйте себя: единственность относится к двум различным точкам.

Ошибка: утверждать совпадение прямых по одной общей точке. Одна общая точка означает лишь пересечение или принадлежность обеих прямых этой точке. Для совпадения найдите две различные общие точки.

Ошибка: путать луч с отрезком. У отрезка два конца, а у луча только начало, после которого он продолжается бесконечно в одном направлении. Проверьте, есть ли у рассматриваемой части второй ограничивающий конец.

Ошибка: считать, что отрезок пересекает прямую, если оба его конца находятся в одной полуплоскости. В таком случае отрезок остаётся в этой полуплоскости и пересечение не следует из условия. Для применения свойства концы должны лежать в разных полуплоскостях.

Связь с другими темами

До изучения свойств прямой нужно уметь обозначать точки и прямые, а также понимать, что значит принадлежность точки прямой. Эти обозначения используются во всех дальнейших рассуждениях и доказательствах.

Отрезки и лучи понадобятся при изучении углов, треугольников и других геометрических фигур. Через них описывают стороны фигур, направления и части линий.

Полуплоскости помогают доказывать пересечение отрезков и исследовать расположение прямых и фигур на плоскости. Это свойство станет полезным при сравнении положения геометрических объектов.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Если две прямые имеют две различные общие точки, они совпадают.
• Точка на прямой делит её на два луча.
• Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
• Отрезок с концами в разных полуплоскостях пересекает разделяющую их прямую.