2.1. Геометрия прямой линии

Определения и обозначения

Прямая — линия, которая продолжается бесконечно в обе стороны. Её можно обозначить строчной буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней, например AB. Эти способы помогают назвать одну и ту же линию: буква удобна на чертеже, а две точки показывают, через что она проходит.

Луч — часть прямой, у которой есть начало и которая бесконечно продолжается в одном направлении. Его обозначают двумя буквами: первой называют начало, второй — точку, показывающую направление, например луч AB. Такое обозначение нужно читать по порядку: луч AB начинается в A, а луч BA — в B.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а точки между ними — внутренними; отрезок обозначают буквами его концов, например AB. Это обозначение позволяет точно указать участок линии, который рассматривают или измеряют.

Длина отрезка — положительная величина, показывающая, насколько далеко друг от друга расположены его концы. Её сравнивают с длинами других отрезков и измеряют выбранной единицей, например сантиметром. Если отрезок разделён на части, их длины складывают, чтобы получить длину целого.

Как это устроено

Через любые две различные точки проходит единственная прямая: две точки задают направление линии, и провести через них другую прямую уже нельзя. Это свойство используют при построении: достаточно отметить две точки и провести через них линию. Если точки совпадают, прямую таким способом однозначно задать нельзя, потому что через одну точку можно провести много прямых.

Чтобы получить луч из прямой, выбирают на ней одну точку и считают её началом; оставшаяся часть линии продолжается от неё в одну сторону. Для отрезка выбирают две граничные точки и оставляют только участок между ними. Поэтому наличие одной границы отличает луч от прямой, а двух — от луча.

Две точки на прямой позволяют задать её положение, потому что через них проходит только одна прямая. Для луча одних и тех же двух точек недостаточно без порядка: первая буква задаёт начало, а вторая показывает, в какую сторону он идёт. Если A, C и B расположены именно в таком порядке, лучи AB и AC совпадают: они начинаются в A и направлены к одной стороне. Луч BA начинается в B, поэтому это уже другой луч.

Сравнить отрезки можно наложением: если совместить один конец первого отрезка с концом второго и направить их одинаково, более далёкий второй конец покажет, какой отрезок длиннее. Когда наложить отрезки неудобно, измеряют их линейкой. Для этого выбирают единичный отрезок, например сантиметр, и определяют, сколько таких единиц укладывается между концами.

Если точка C лежит между A и B, то отрезки AC и CB образуют вместе весь отрезок AB: между ними нет промежутка и они не накладываются. Поэтому длина AB равна сумме длин AC и CB. Это правило позволяет найти неизвестную часть, если известны длина целого отрезка и другой его части, или вычислить целое по двум частям.

Основные части прямой

Сначала найдите в таблице число граничных точек: это быстрее всего помогает отличить прямую, луч и отрезок. Затем проверьте, в какую сторону объект продолжается и как его обозначают. Строка о длине напоминает, что конечную длину имеет только отрезок.

Разбор задач

Задача 1

Через точки A и B проведите прямую и обозначьте её двумя способами. Предполагается, что A и B — разные точки, поэтому они однозначно задают прямую. Нужно указать и обозначение точками, и обозначение строчной буквой. Букву можно выбрать самостоятельно.

1. Отметьте точки A и B и проведите через них линию, продолжив её за обе точки в обе стороны. Так на рисунке показано, что перед нами прямая, а не отрезок AB.

2. Обозначьте линию по точкам как прямую AB. Порядок A и B здесь не меняет прямую: через обе точки проходит одна и та же линия.

3. Назовите эту же прямую любой строчной буквой, например a. Буква служит коротким обозначением той линии, которую уже задали точки A и B.

Ответ: прямая AB, или прямая a.

Задача 2

Точка C лежит между точками A и B. Сравните лучи AB и AC и выразите длину отрезка AB через длины AC и CB. Порядок точек означает, что при движении от A к B сначала встречается C. Поэтому отрезок AB состоит из частей AC и CB.

1. Сравните начала лучей: и луч AB, и луч AC начинаются в точке A. Это первое условие, необходимое для совпадения лучей.

2. Проверьте направление: лучи проходят через точки B и C, а C лежит между A и B. Значит, обе точки находятся по одну сторону от A, и оба луча идут в одну сторону.

3. Так как начало и направление совпадают, лучи AB и AC совпадают. Для длин отрезков используйте разбиение целого: к части AC добавляется часть CB.

Ответ: лучи AB и AC совпадают; AB = AC + CB.

Задача 3

На прямой отмечены A, B, C, D именно в таком порядке; длины AB, BC и CD известны. Требуется найти AC, BD и AD, а затем указать пары непересекающихся отрезков из рассматриваемых отрезков. Числовые значения в условии не заданы, поэтому обозначим известные длины AB через m, BC через n, CD через p. Такой ответ показывает способ вычисления для любых данных.

1. От A до C проходят подряд части AB и BC, поэтому AC = m + n. Мы складываем их, потому что B — общая граница, а отрезки лежат на одной прямой.

2. От B до D последовательно идут BC и CD. Значит, BD = n + p; точка C служит общей границей этих двух частей.

3. Весь отрезок AD состоит из трёх частей AB, BC и CD. Поэтому AD = m + n + p, что также равно AC + CD или AB + BD.

4. Среди отрезков AB, BC, CD, AC, BD и AD только AB и CD не имеют общих точек. Остальные пары пересекаются хотя бы в общей граничной точке или один отрезок содержит часть другого.

Ответ: AC = m + n, BD = n + p, AD = m + n + p; непересекающаяся пара — AB и CD.

Типичные ошибки

Иногда прямую принимают за ограниченную линию, потому что на листе она нарисована коротким штрихом. Так происходит из-за границ рисунка или длины линейки, а не из-за свойств прямой. Проверка простая: мысленно продолжите линию за оба края изображения — у прямой нет ни начала, ни конца.

Луч AB могут перепутать с лучом BA, прочитав буквы как название одного и того же участка. Ошибка возникает, если забыть, что первая буква указывает начало луча. Чтобы проверить себя, отметьте начало: у AB это A, а у BA — B; значит, обозначения относятся к разным лучам.

Любой видимый кусок линии иногда называют отрезком, не называя его границы. Но без двух граничных точек неясно, какой именно участок рассматривается, а часть рисунка может быть продолжением прямой или луча. Проверьте, указаны ли оба конца и ограничена ли линия именно ими.

Нельзя складывать длины любых двух отрезков только потому, что они даны в условии. Такое сложение допустимо, когда отрезки лежат на одной прямой, идут подряд и не накладываются; иначе сумма может не быть длиной целого отрезка. Перед вычислением отметьте порядок точек и общую границу частей.

Связь с другими темами

Для работы с прямой, лучом и отрезком нужны понятия точки и принадлежности точки прямой: они помогают читать чертёж и обозначения. Отрезки и лучи станут основой при изучении углов и треугольников, а представления о прямой пригодятся в координатном методе и доказательствах свойств фигур. Длина отрезка используется в задачах на расстояния и середину отрезка, а также при построениях циркулем и линейкой.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит единственная прямая.

• Прямая не ограничена ни с одной стороны.

• Луч имеет начало и продолжается бесконечно в одном направлении.

• Отрезок имеет два конца и конечную длину.

• Луч обозначают двумя буквами, первой указывают его начало.

• Длина целого отрезка равна сумме длин его последовательных частей.