"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Плоскость — одна из основных фигур геометрии: она бесконечна и не имеет изгибов. С её помощью описывают расположение точек и прямых в пространстве, а также пересечения геометрических фигур. Главное — знать три свойства плоскости: как её задают три точки, когда прямая целиком принадлежит плоскости и что получается при пересечении двух плоскостей. Эти правила помогают решать задачи, даже если всю картину нельзя изобразить на листе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Плоскость — бесконечная плоская поверхность, рассматриваемая в геометрии как один из основных объектов. На рисунке её обычно изображают ограниченным параллелограммом, но это только условная картинка: сама плоскость продолжается во все стороны. Такое представление помогает рассуждать о фигурах, которые находятся в пространстве.
Точки называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Например, любые точки, отмеченные на листе бумаги, можно считать расположенными в одной плоскости. Термин нужен, чтобы коротко говорить о совместном расположении точек, не перечисляя каждый раз плоскость.
Принадлежность точки плоскости записывают, например, как A ∈ α; если точка не лежит в плоскости — A ∉ α. Знак ∈ читают «принадлежит», а ∉ — «не принадлежит»; греческой буквой α обозначена плоскость. Такие записи позволяют точно указывать, какие объекты участвуют в рассуждении.
Пересечение плоскостей — множество точек, принадлежащих обеим плоскостям. Если у двух плоскостей есть общая точка, то все их общие точки образуют прямую. Это понятие помогает описывать, как две плоские поверхности расположены друг относительно друга.
В геометрии некоторые утверждения принимают как исходные: их не доказывают, а используют как основу для дальнейших выводов. Так поступают со свойствами плоскости, потому что геометрия пространства строится на исходных понятиях и правилах, а не на доказательстве каждого из них через ещё более простые факты. Если бы каждое правило требовало доказательства, пришлось бы бесконечно искать для него новое основание.
Первое свойство говорит: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Точки не на одной прямой задают положение поверхности: её можно провести через них, и другого положения, проходящего через все три, не будет. Условие о прямой необходимо, иначе три точки не задавали бы плоскость однозначно.
Второе свойство: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Прямая определяется двумя своими точками, поэтому, когда обе точки уже находятся в плоскости, продолжение прямой не уходит из неё. Это позволяет по двум точкам доказать принадлежность плоскости целой прямой.
Третье свойство: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Одной общей точкой поверхности могут соприкасаться, но в геометрии для плоскостей такая точка не остаётся единственной: общие точки располагаются вдоль прямой. Если найдены две различные общие точки, через них можно провести эту прямую и определить линию пересечения.
Эти свойства объясняют, как задать плоскость разными наборами объектов. Три точки, не лежащие на одной прямой, задают её по первому свойству. Прямая и точка вне неё тоже задают плоскость: возьмём на прямой две точки, и вместе с внешней точкой получим три точки не на одной прямой. Две пересекающиеся прямые задают плоскость, поскольку точка их пересечения и по одной точке на каждой прямой образуют три точки не на одной прямой.
| Свойство | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Единственность плоскости по трём точкам | Три точки не лежат на одной прямой | Через них проходит ровно одна плоскость |
| Прямая принадлежит плоскости | Две точки прямой принадлежат плоскости | Вся прямая лежит в этой плоскости |
| Пересечение двух плоскостей | Плоскости имеют общую точку | Их общие точки образуют прямую |
Пользуйся таблицей как схемой: сначала найди условие, которое дано в задаче, а затем выбери соответствующий вывод. Проверяй, что выполнены все части условия: например, для первой строки точки должны быть не на одной прямой. Если подходящего условия нет, делать вывод по этой строке нельзя.
Задача 1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Нужно проверить, подходит ли расположение точек под условие свойства о трёх точках. В задаче прямо сказано, что все три точки не лежат на одной прямой.
Ответ: одна плоскость.
Задача 2. Точки A и B прямой l принадлежат плоскости α. Что можно заключить о прямой l? Важно не ограничиться тем, что прямая пересекает плоскость в двух местах: здесь обе точки прямой уже лежат в плоскости. Это именно условие свойства о принадлежности прямой плоскости.
Ответ: вся прямая l принадлежит плоскости α.
Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку M. Как устроено их пересечение и как проверить, что точка N тоже принадлежит обеим плоскостям? Общая точка означает, что плоскости пересекаются, а не обязательно совпадают. Чтобы определить линию пересечения, надо найти ещё одну общую точку.
Ответ: плоскости пересекаются по прямой; если N — вторая общая точка, эта прямая проходит через M и N.
Ошибка — считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так рассуждают, потому что запоминают число точек, но забывают условие об их расположении. Проверь себя: если все три точки лежат на одной прямой, через неё можно провести не одну плоскость. Значит, для единственности точки не должны лежать на одной прямой.
Одна общая точка двух плоскостей не означает, что плоскости совпадают. Путаница возникает, если принять «имеют общую точку» за «совпадают». Свойство говорит только о пересечении по прямой. Для проверки помни: совпадающие плоскости — не единственный вариант, а общая точка ещё не доказывает их совпадение.
Нельзя заключить, что прямая целиком лежит в плоскости, зная только об одной общей точке. Одна точка показывает лишь то, что прямая и плоскость имеют эту точку, но не задаёт положение всей прямой. Чтобы проверить вывод, найди две точки прямой и установи, что обе лежат в плоскости. Только тогда можно применить нужное свойство.
Не путай существование плоскости с её единственностью. В утверждении о трёх точках не на одной прямой говорится и то, что плоскость проходит через них, и то, что она только одна. Иногда запоминают лишь часть утверждения и отвечают не полностью. Проверь себя: в выводе должны быть отражены оба слова — «проходит» и «ровно одна».
Для изучения свойств плоскости нужно знать, что такое точка и прямая, а также понимать, что значит принадлежность: например, A ∈ α. Эти понятия служат языком, на котором записывают условия задач. Если обозначения знакомы, легче отличить принадлежность точки от принадлежности прямой.
Свойства плоскости помогают изучать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. По ним можно устанавливать, лежит ли прямая в плоскости и как две плоскости пересекаются. Это основа для дальнейших задач о пространственных фигурах.
Способы задания плоскости понадобятся в стереометрии — разделе геометрии о фигурах в пространстве. Они используются, когда нужно описать плоскость через известные прямые или точки. Та же идея помогает понимать построение сечений: фигуру рассматривают в плоскости, заданной условиями задачи.
Почему через три точки не всегда можно однозначно задать плоскость?
Если три точки лежат на одной прямой, то через эту прямую можно провести много плоскостей. Поэтому для единственности нужно, чтобы точки не лежали на одной прямой. Тогда через них проходит ровно одна плоскость.
Как доказать, что прямая лежит в плоскости?
Нужно указать две различные точки этой прямой и показать, что обе принадлежат плоскости. По свойству плоскости тогда в ней лежит вся прямая. Одной общей точки для такого вывода недостаточно.
Могут ли две плоскости пересекаться только в одной точке?
Нет. Если две плоскости имеют общую точку, их общие точки образуют прямую. Поэтому вместе с одной общей точкой у них есть и другие общие точки.
Как задать плоскость, если известны прямая и точка вне неё?
Выбери на прямой две различные точки. Вместе с точкой, которая не лежит на прямой, они образуют три точки, не лежащие на одной прямой. Через эти три точки проходит ровно одна плоскость.
Сколько общих точек достаточно, чтобы определить линию пересечения плоскостей?
Достаточно двух различных общих точек: через них проходит единственная прямая. Если обе точки принадлежат двум плоскостям, эта прямая лежит в обеих и является линией их пересечения.
2. Основные свойства плоскости
