§ 19. Центральная симметрия. Поворот

Определения и обозначения

Центральная симметрия относительно точки O — преобразование, при котором точка A переходит в A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Это определение помогает построить образ точки, не путая, от какого места откладывать равный отрезок.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура при центральной симметрии отображается сама на себя. Иными словами, каждой точке фигуры соответствует точка той же фигуры. Понятие нужно, чтобы описывать симметричные фигуры и проверять, сохраняется ли фигура при таком преобразовании.

Поворот вокруг точки O на угол α — преобразование, при котором A переходит в A′, OA = OA′, а ориентированный угол между лучами OA и OA′ равен α. Поэтому для построения образа нужно знать и расстояние до центра, и направление поворота. Буква α обозначает величину угла, который задаёт это направление.

Угол поворота задаёт величину и направление поворота: положительное направление — против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. Например, повороты на α и −α идут в противоположные стороны. Знак угла нужен, чтобы однозначно определить, где окажется образ точки.

Как это устроено

При центральной симметрии образ A′ должен лежать на той же прямой, что A и O: иначе O не сможет быть серединой AA′. Равенство OA = OA′ означает, что отрезки по обе стороны от O одинаковы. Поэтому построение выполняют так: проводят AO, продолжают прямую за O и откладывают на ней отрезок OA′, равный OA. Это правило работает для каждой точки плоскости, а не только для вершин фигуры.

Центральную симметрию можно получить поворотом на 180°. При таком повороте расстояние до O не меняется, а направление луча OA меняется на противоположное: образ оказывается на луче, противоположном OA. Следовательно, точки A и A′ находятся по разные стороны от O на одинаковом расстоянии, и O — середина AA′. Так совпадают определения поворота на 180° и центральной симметрии.

Поворот сохраняет расстояния между точками, потому что все точки перемещаются вокруг одного центра на один и тот же угол. Поэтому расстояние между двумя вершинами фигуры после поворота остаётся таким же, как до него. Поворот сохраняет и величины углов: меняется положение сторон, но не угол между ними. Отсюда следует, что отрезок переходит в равный ему отрезок, а многоугольник — в равный многоугольник.

При повороте центр O остаётся на месте, а положение любой другой точки определяется двумя условиями: расстояние до O не меняется, а луч к образу образует с исходным лучом заданный угол α. Сначала проводят луч из O, поворачивая его в нужную сторону, затем на нём откладывают прежнее расстояние. Для фигуры то же действие выполняют с каждой вершиной. Когда образы вершин найдены, их соединяют в прежнем порядке и получают образ фигуры.

Чтобы преобразовать фигуру, не нужно отдельно перемещать все её точки. Достаточно построить образы характерных точек — например, вершин многоугольника — и соединить их так же, как в исходной фигуре. Для центральной симметрии проверяют, что центр является серединой отрезка от каждой вершины до её образа. Для поворота проверяют одинаковое расстояние каждой вершины до центра и общий заданный угол. Эти проверки помогают заметить ошибку в построении.

Сравнение центральной симметрии и поворота

Чтобы выбрать нужное построение, найди задающие элементы: для центральной симметрии достаточно центра, а для поворота нужны центр и угол. Затем проверь образ точки по соответствующей строке таблицы. Обрати внимание: центральная симметрия — частный случай поворота, а не отдельное правило, противоречащее ему.

Разбор задач

Постройте точку A′, симметричную точке A относительно точки O.

Нужно расположить A′ так, чтобы O была серединой AA′. Значит, точки должны лежать на одной прямой, а расстояния от O до A и A′ — совпадать. Сначала задаём прямую, затем откладываем равный отрезок по другую сторону от центра. После построения проверяем оба условия определения.

1. Проведи прямую через A и O.
2. Продолжи прямую за точку O в сторону, противоположную A.
3. Отложи на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Проверь, что A, O, A′ лежат на одной прямой и OA = OA′.

Ответ: точка A′ на прямой AO по другую сторону от O, причём OA′ = OA. Равенство отрезков вместе с их расположением по разные стороны от O подтверждает, что O — середина AA′.

Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на заданный угол α.

При повороте каждая вершина сохраняет расстояние до O, но перемещается на один и тот же ориентированный угол. Поэтому строим образы A′, B′ и C′ отдельно, соблюдая одно правило для всех трёх точек. В конце соединяем их в прежнем порядке: так стороны и вершины образа будут соответствовать сторонам и вершинам исходного треугольника.

1. Проведи лучи OA, OB и OC.
2. От каждого луча отложи угол α в заданном направлении: для положительного α — против часовой стрелки, для отрицательного — по часовой.
3. На новых лучах отметь точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB, OC′ = OC.
4. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что A, B и C.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ ABC при повороте. Проверка: расстояния от вершин до O сохранены, а все три точки повёрнуты на один и тот же угол α.

Докажите, что при повороте отрезок переходит в равный ему отрезок.

Пусть концы отрезка — A и B, а после поворота их образы — A′ и B′. Длина исходного отрезка равна расстоянию AB, а длина образа — расстоянию A′B′. Поворот сохраняет расстояние между любыми двумя точками, поэтому эти расстояния равны. Здесь важно сравнивать образы обоих концов, а не только расстояние одного конца до центра.

1. Обозначь образы концов отрезка AB через A′ и B′.
2. Используй свойство поворота: расстояние между образами точек равно расстоянию между исходными точками.
3. Запиши AB = A′B′; следовательно, отрезки равны.

Ответ: отрезок AB при повороте переходит в равный ему отрезок A′B′, так как сохраняется расстояние между его концами.

Типичные ошибки

При центральной симметрии иногда откладывают равный отрезок от A, а не от центра O. Тогда условие OA = OA′ не выполняется, и O не оказывается серединой AA′. Ошибку допускают, сосредоточившись на длине исходного отрезка, но забыв о его начале. Проверь себя: A′ должна лежать на прямой AO за O, а OA′ должно равняться OA.

Центральную симметрию путают с осевой, потому что оба преобразования называют симметрией. Однако при центральной симметрии действует точка-центр, а при осевой — прямая-ось. Если построить только «отражение на другую сторону», можно не соблюсти нужное условие. Проверь: для центра он должен быть серединой отрезка между точкой и образом.

При построении поворота иногда меняют расстояние от точки до центра, пытаясь разместить образ по рисунку на глаз. Так поступают, потому что внимание сосредоточено на угле, а расстояние кажется второстепенным. Но тогда полученная точка не является образом при повороте. Измерь или перенеси OA и убедись, что OA′ = OA.

Ещё одна ошибка — не учитывать знак угла. Поворот на α и поворот на −α направлены в разные стороны, поэтому обычно дают разные точки. Если ориентироваться только на величину угла, образ может оказаться по неверную сторону от исходного луча. Проверь направление: положительный угол откладывают против часовой стрелки, отрицательный — по часовой.

Связь с другими темами

Для построений нужны знакомые понятия: середина отрезка, равенство углов и отрезков, умение проводить перпендикулярные прямые и откладывать равные отрезки. Центральная симметрия и поворот связаны с осевой симметрией тем, что относятся к преобразованиям плоскости, сохраняющим расстояния. Позже эти идеи пригодятся при изучении правильных многоугольников, свойств фигур и других геометрических преобразований.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Центральная симметрия равносильна повороту на 180°.
• При повороте сохраняется расстояние от точки до центра поворота.
• Поворот сохраняет длины отрезков и величины углов.
• Образ фигуры можно построить по образам её вершин.
• Поворот на угол α и поворот на угол −α направлены в разные стороны.