"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Гомотетия изменяет расстояния от выбранного центра в одно и то же число раз, поэтому фигура становится больше или меньше, но сохраняет форму. Коэффициент преобразования показывает масштаб и направление, в котором располагаются образы точек. Подобными называют фигуры с равными соответствующими углами и пропорциональными соответствующими сторонами. Эти понятия помогают находить неизвестные длины, сравнивать площади и работать с изображениями в масштабе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гомотетия — преобразование с центром O и коэффициентом k, при котором точке X соответствует точка X′ и выполняется равенство векторов OX′ = k·OX. Иными словами, расстояние от центра до образа меняется в одном и том же масштабе для всех точек. Это преобразование удобно, когда нужно увеличить или уменьшить фигуру, сохранив её форму.
Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой расположены соответствующие точки и их образы. Она служит началом лучей, на которых строят образ каждой точки. Зная центр, можно определить направление и расстояние до образа.
Коэффициент гомотетии — число k, которое задаёт направление и масштаб преобразования. Его знак показывает, по какую сторону от центра находится образ, а модуль |k| — во сколько раз меняются расстояния. Поэтому знак и модуль нужно учитывать отдельно.
Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они могут быть разного размера и повёрнуты по-разному, но сохраняют одинаковую форму. Это определение помогает устанавливать подобие и находить неизвестные элементы фигур.
Чтобы построить образ точки X, сначала проводят луч из центра O через X. Если k положительно, образ располагают на этом же луче; если отрицательно — на противоположном луче. Затем от O откладывают расстояние, равное |k|·OX: именно модуль используют, потому что длина не бывает отрицательной. Например, при |k| = 2 расстояние до образа вдвое больше исходного, а при |k| = ½ — вдвое меньше.
При гомотетии расстояния между любыми двумя точками умножаются на |k|, а углы остаются прежними. Это происходит потому, что векторы к образам получаются умножением на одно и то же число: обе стороны любого угла меняются согласованно. В результате длина отрезка масштабируется, но форма угла не искажается. Поэтому изображение фигуры может стать больше или меньше, оставаясь подобным исходной.
Знак коэффициента определяет положение образа относительно центра. При k > 0 точка X′ находится на луче OX, а при k < 0 — на луче, противоположном OX. Причина видна из равенства OX′ = k·OX: отрицательное число меняет направление вектора, а положительное сохраняет его. При этом размер преобразования в обоих случаях определяется модулем коэффициента.
Прямая, не проходящая через центр, при гомотетии переходит в параллельную ей прямую. Действительно, любая точка прямой смещается относительно центра в одном масштабе, поэтому образы двух её точек задают направление, параллельное исходному. Если же прямая проходит через центр, её точки и образы остаются на той же прямой: меняются расстояния и, возможно, направление, но не сама линия. Это свойство полезно при построении образов отрезков и фигур.
Гомотетия меняет размер фигуры, не меняя её форму, поэтому исходная фигура и её образ подобны. Однако подобие шире: подобные фигуры могут быть не только увеличены или уменьшены, но и повёрнуты либо иначе расположены. Для подобия достаточно равенства соответствующих углов и пропорциональности соответствующих сторон. Таким образом, гомотетия даёт один из способов получить подобную фигуру.
| Что сравниваем | Гомотетия с коэффициентом k | Подобные фигуры |
|---|---|---|
| Изменение длин | Все расстояния умножаются на |k| | Соответствующие стороны пропорциональны |
| Соответствующие углы | Величины углов сохраняются | Соответствующие углы равны |
| Расположение соответствующих точек | Зависит от знака k и центра O | Может отличаться; единого центра нет |
| Связь коэффициента с отношением размеров | Отношение расстояний равно |k| | Отношение соответствующих сторон — коэффициент подобия |
| Площадь образа или подобной фигуры | Умножается на k² | Относится как квадрат коэффициента подобия |
Сначала определи, что сравнивается: преобразование одной фигуры гомотетией или две подобные фигуры. Для длин используй коэффициент масштаба, а для площадей — его квадрат. Если расположение фигур различается, проверь соответствие вершин, прежде чем сравнивать стороны и углы.
При гомотетии с центром O и коэффициентом 2 точка A находится на расстоянии 3 см от O. Нужно построить A′ и найти OA′. Коэффициент положительный, значит образ будет на том же луче, что и A. Его расстояние от центра вдвое больше исходного.
Проверка проста: расстояние до образа должно быть в два раза больше 3 см, а направление — совпадать с направлением OA. Ответ: A′ лежит на луче OA, OA′ = 6 см.
Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 8 см. У подобного ему треугольника коэффициент подобия равен 1,5. Требуется найти его стороны. Так как коэффициент один и тот же для всех соответствующих сторон, нужно умножить каждую из трёх длин на 1,5.
Полученные стороны сохраняют те же отношения, что и стороны исходного треугольника. Это согласуется с определением подобия: меняется масштаб, а форма остаётся прежней. Ответ: 6 см, 9 см и 12 см.
Треугольники ABC и A′B′C′ подобны; AB = 6 см, BC = 9 см, A′B′ = 10 см, площадь ABC равна 27 см². Нужно найти B′C′ и площадь A′B′C′. Сначала сравним известные соответствующие стороны AB и A′B′, чтобы определить коэффициент перехода от ABC к A′B′C′. Затем применим его отдельно к длине и площади.
Проверка: коэффициент больше 1, поэтому и сторона, и площадь образа должны быть больше исходных. Для площади использован квадрат, так как увеличиваются оба измерения фигуры. Ответ: B′C′ = 15 см, площадь A′B′C′ равна 75 см².
Ошибка: при отрицательном коэффициенте помещать образ на тот же луч от центра. Её допускают, если учитывают только модуль числа и забывают о его знаке. Проверь направление вектора: при k < 0 образ должен находиться на противоположном луче.
Ошибка: умножать длину непосредственно на k и получать отрицательное расстояние. Знак коэффициента отвечает за направление, а длина меняется в |k| раз, поэтому она остаётся неотрицательной. Для проверки отдели построение направления от вычисления расстояния.
Ошибка: считать коэффициент подобия отношением площадей. Так происходит из-за того, что оба отношения связаны с масштабом, но площадь зависит от двух линейных измерений. Проверь расчёт на примере: коэффициент k означает отношение площадей k², а не k.
Ошибка: объявлять фигуры подобными только по пропорциональным сторонам, не проверяя углы и соответствие вершин. Если стороны сопоставлены в неверном порядке, пропорция может не описывать нужные элементы. Установи, какие вершины соответствуют друг другу, и проверь равенство соответствующих углов вместе с пропорциональностью сторон.
Для изучения темы нужны свойства параллельных прямых, умение находить отношения отрезков и решать пропорции. Эти знания помогают строить образы и вычислять коэффициенты преобразования. Гомотетия и подобие опираются на признаки подобия треугольников: с их помощью можно находить неизвестные стороны по известным. Далее подобие применяется в задачах на площади, измерение недоступных расстояний и построение изображений в масштабе.
Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?
Да, коэффициент может быть отрицательным. Тогда образ точки лежит на противоположном от исходной точки луче с началом в центре гомотетии, а расстояние до центра умножается на модуль коэффициента.
Где находится образ точки при коэффициенте гомотетии, равном 1?
Если k = 1, то OX′ = OX, поэтому образ каждой точки совпадает с ней самой. Фигура не изменяется.
Какие фигуры называют подобными?
Подобными называют фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером и расположением.
Как найти коэффициент подобия по соответствующим сторонам?
Раздели длину стороны одной фигуры на длину соответствующей стороны другой фигуры. Важно сопоставить именно соответствующие стороны и соблюдать один и тот же порядок деления.
Почему площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сторон?
При увеличении всех линейных размеров в k раз каждая площадь умножается на k². Поэтому отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
§ 20. Гомотетия. Подобие фигур
