Применение преобразований фигур при решении задач

Определения и обозначения

Движение — преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками; образ фигуры равен исходной фигуре. Иными словами, точки могут изменить положение, но взаимные расстояния между ними останутся прежними. Это определение позволяет сразу понять, какие длины можно перенести с фигуры на её образ.

Осевая симметрия — преобразование относительно прямой, которая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ. Такая прямая называется осью симметрии. Понятие помогает находить пары равных отрезков и сопоставлять части фигуры по разные стороны оси.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, являющейся серединой отрезка между точкой и её образом. Эту точку называют центром симметрии. Определение особенно полезно, когда в задаче нужно показать, что две диагонали делятся пополам в одной точке.

Поворот — преобразование вокруг заданной точки на заданный угол; при нём сохраняются расстояния и углы. Точка, вокруг которой поворачивают фигуру, — центр поворота, а угол показывает, насколько она меняет направление. Поворот нужен, чтобы совместить части конфигурации или получить фигуру с более простыми свойствами.

Как это устроено

При преобразовании каждой точке исходной фигуры ставится в соответствие точка образа. Поэтому для решения задачи недостаточно сказать, что фигура «переместилась»: нужно установить, где оказались её важные точки, стороны и отрезки. Если точка A перешла в A′, а отрезок AB — в A′B′, становится понятно, какие элементы можно сравнить и какие равенства даст преобразование.

Движения сохраняют длины и углы, потому что расстояние между любой парой точек после преобразования остаётся тем же. В результате не меняются стороны и углы многоугольника, а также его форма и размер. Поэтому образ фигуры равен исходной: свойства, известные для одной фигуры, можно использовать и для другой. Например, равенство соответствующих отрезков позволяет заменить неизвестную длину такой же длиной на более удобной части чертежа.

При осевой симметрии каждая точка и её образ расположены по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии. Это следует из того, что ось перпендикулярна отрезку между ними и делит его пополам. Точки самой оси не меняют положения, поэтому удобно выбирать их для сравнения расстояний: если M лежит на оси, то MA = MA′. Симметрия также переводит отрезки и углы в равные им образы.

При центральной симметрии центр O делит отрезок между точкой и её образом пополам. Если A переходит в C, а B — в D, то O — середина и AC, и BD. Отрезки, соединяющие соответствующие точки, оказываются параллельными, поскольку они лежат на прямых, проходящих через O, а их половины равны. Поэтому центральная симметрия помогает увидеть в четырёхугольнике диагонали, которые делятся пополам, и применить признак параллелограмма.

Поворот сохраняет расстояние каждой точки до центра и угол между исходным и новым направлениями. Благодаря этому размеры частей фигуры не меняются, хотя их положение может измениться. Если выбрать центр и угол так, чтобы одна сторона перешла в другую или две вершины совпали, свойства исходных частей можно сопоставить. В результате сложная конфигурация иногда превращается в более простую, где нужное равенство становится очевидным.

Движения плоскости и их применение в задачах

Сначала определи, какие элементы задачи нужно сопоставить, а затем выбери подходящее движение. В столбце «Что задаёт» указаны данные, без которых преобразование нельзя однозначно выполнить, а последний столбец подсказывает, какой результат оно может дать. Все указанные движения сохраняют расстояния и углы.

Разбор задач

Задача 1

Точка A отражена относительно прямой l и перешла в точку A′. Докажите, что для любой точки M на прямой l выполняется MA = MA′. Нужно связать расстояния от M до двух симметричных точек, не выбирая конкретного положения M.

1. При отражении относительно l точка M остаётся на месте, потому что M лежит на оси симметрии.
2. Отрезок MA переходит в отрезок MA′: начало M не меняется, а точка A переходит в A′.
3. Осевая симметрия является движением и сохраняет расстояния, поэтому длины этих отрезков равны.

Ответ: MA = MA′ для любой точки M на l. Здесь важно, что M лежит именно на оси: тогда её образ совпадает с самой точкой M.

Задача 2

Точки A и C симметричны относительно точки O, а точки B и D — также. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Подсказка в условии — общий центр симметрии: он может оказаться точкой пересечения и серединой диагоналей.

1. Из симметрии A и C следует, что O — середина отрезка AC.
2. Из симметрии B и D следует, что O — середина отрезка BD.
3. AC и BD — диагонали четырёхугольника ABCD, и они делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма такой четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм. В доказательстве использовано свойство диагоналей: если они делятся пополам, четырёхугольник является параллелограммом.

Задача 3

Внутри равностороннего треугольника ABC выбрана точка P. Докажите, что сумма расстояний от P до сторон треугольника не зависит от положения P. Обозначим эти расстояния d₁, d₂ и d₃, а сторону треугольника — a. Вместо того чтобы искать зависимость каждого расстояния от положения P, сравним площади.

1. Соедини P с вершинами A, B и C. Треугольник ABC распадается на три треугольника с основаниями a и высотами d₁, d₂ и d₃.
2. Сложи площади этих частей: S = ½ad₁ + ½ad₂ + ½ad₃ = ½a(d₁ + d₂ + d₃).
3. Высота равностороннего треугольника равна h, поэтому его площадь также равна S = ½ah. Приравняв выражения и разделив на ½a, получаем d₁ + d₂ + d₃ = h.

Ответ: сумма расстояний всегда равна высоте треугольника h, а значит, не зависит от положения P. Если в задаче рассматривают преобразование, поворот на 60° вокруг вершины помогает сопоставить равные части конфигурации; здесь же тот же постоянный результат удобно увидеть через площади.

Типичные ошибки

Считают, что любое преобразование сохраняет длины. Так происходит, когда свойства движения переносят на произвольное преобразование плоскости, которое может растягивать фигуру или менять её форму. Проверь себя: сохранены ли расстояния между любыми двумя точками? Если это не следует из условия или вида преобразования, утверждать равенство длин нельзя.

При осевой симметрии выбирают произвольную прямую через точку и её образ. Такая прямая не обязательно делит отрезок между точками пополам под прямым углом. Проведи перпендикуляр от точки к предполагаемой оси и проверь, что основание перпендикуляра — середина отрезка, соединяющего точку с образом.

При центральной симметрии считают центр одной из пары точек. Это неверно: центр лежит на отрезке между точкой и её образом и делит этот отрезок пополам. Проверка простая: измерь или обоснуй равенство расстояний от центра до обеих точек и убедись, что они расположены на одной прямой.

Выбирают поворот, не проверив его центр и угол. Само слово «поворот» не доказывает, что нужные точки или стороны совместятся: совпадение зависит от расстояний до центра и величины угла. Перед использованием преобразования назови его центр и угол, а затем проверь, куда переходят ключевые точки и стороны.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужны знания о равенстве фигур: движение сохраняет расстояния и углы, а значит, помогает обосновать равенство образа исходной фигуре. Также пригодятся свойства отрезков и углов, симметричных относительно оси или центра. Признак параллелограмма позволяет завершить доказательство, если удалось установить, что диагонали делятся пополам.

Преобразования используют при доказательстве геометрических утверждений, построении фигур и решении задач на равенство и расстояния. Они не заменяют рассуждение, а помогают изменить расположение элементов так, чтобы нужное свойство стало заметным. Поэтому после преобразования важно явно назвать, что сохранилось и как это связано с условием задачи.

Что запомнить

• Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос являются движениями.
• Движение сохраняет расстояния и углы.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.
• При осевой симметрии ось делит пополам и перпендикулярно отрезок между симметричными точками.
• При центральной симметрии центр — середина отрезка между точкой и её образом.
• Преобразование выбирают так, чтобы упростить конфигурацию и выявить нужные равенства.