"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Движение пространства — преобразование, которое переводит каждую точку в некоторую точку и сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Поэтому после движения фигура может оказаться в другом месте, но её размеры и форма не изменятся. К основным движениям относятся параллельный перенос, поворот и симметрии. Их изучают, чтобы сравнивать пространственные фигуры, строить образы точек и обосновывать равенство фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение пространства — взаимно однозначное отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, каждой точке соответствует единственный образ, и разные точки не сливаются в одну. Такое условие позволяет сравнивать фигуру с её образом и говорить, что они равны.
Параллельный перенос — движение, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Вектор задаёт направление и величину перемещения, поэтому его достаточно, чтобы построить образы всех точек фигуры. Перенос удобен, когда нужно сдвинуть фигуру, не поворачивая и не меняя её форму.
Поворот пространства — движение вокруг заданной оси на заданный угол; точки оси остаются на месте. Ось показывает, вокруг чего происходит поворот, а угол — насколько далеко поворачиваются точки. Это определение помогает не спутать пространственный поворот с поворотом вокруг одной точки.
Симметрия относительно плоскости — движение, при котором плоскость является серединным перпендикуляром к отрезкам, соединяющим точки с их образами. Значит, она пересекает каждый такой отрезок под прямым углом и делит его пополам. Это правило позволяет построить образ точки и проверить, верно ли выполнено отражение.
Когда расстояние между любой парой точек сохраняется, не меняется длина отрезка между ними. Угол также можно определить через расстояния: возьмём на его сторонах по точке и соединим их, получив треугольник с вершиной в вершине угла. Все три стороны этого треугольника после движения сохраняются, поэтому сохраняются его углы. Значит, фигура остаётся равной исходной, хотя её положение в пространстве может измениться.
Пусть точки имеют координаты A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), а перенос задан вектором (a, b, c). После переноса их координаты станут A′(x₁ + a, y₁ + b, z₁ + c) и B′(x₂ + a, y₂ + b, z₂ + c). Разность соответствующих координат не изменится: например, (x₂ + a) − (x₁ + a) = x₂ − x₁. Поэтому расстояние между образами равно расстоянию между исходными точками: формула расстояния зависит именно от разностей координат.
При повороте точка вне оси должна остаться на том же расстоянии от оси, но изменить направление вокруг неё на заданный угол. Поэтому точка движется по окружности с центром на оси: окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси, а её радиус равен расстоянию от точки до оси. Для построения образа нужно найти эту окружность и отложить на ней заданный угол. Точки самой оси не движутся, поскольку поворот вокруг оси не меняет их положения.
Чтобы отразить точку относительно плоскости, сначала проводят через неё прямую, перпендикулярную плоскости. Плоскость пересекает эту прямую в середине отрезка между исходной точкой и её образом. Поэтому от точки пересечения откладывают по другую сторону плоскости отрезок той же длины, что и до исходной точки. Такое построение даёт нужную симметрию: плоскость будет перпендикулярна соединяющему точки отрезку и разделит его пополам.
Если выполнить два движения подряд, расстояние между образами пары точек не изменится после первого движения и останется прежним после второго. Значит, итоговое преобразование тоже сохраняет расстояния и является движением. У движения есть обратное преобразование: оно возвращает каждую точку на исходное место, а расстояния при этом также сохраняются. Например, обратный перенос задаётся противоположным вектором, а обратный поворот — тем же углом в противоположном направлении.
| Движение | Что задаёт | Какие точки остаются на месте | Как построить образ точки |
|---|---|---|---|
| Параллельный перенос | Один вектор | Нет неподвижных точек, если вектор ненулевой | Отложить от точки заданный вектор |
| Поворот | Ось и угол | Точки оси | Повернуть точку вокруг оси, сохранив расстояние до неё |
| Симметрия относительно плоскости | Плоскость | Точки плоскости | Провести перпендикуляр к плоскости и отложить равный отрезок по другую сторону |
| Центральная симметрия | Центр | Только центр | Построить точку, для которой центр является серединой отрезка с исходной точкой |
Выбирай строку по виду преобразования, которое задано в задаче. Столбец о неподвижных точках помогает быстро проверить построение: например, при отражении точки самой плоскости не сдвигаются. Центральная симметрия в пространстве задаётся центром, который становится серединой отрезка между точкой и её образом.
Условие. Точка A переходит при параллельном переносе на вектор a. Построить образ отрезка AB и объяснить, почему его длина не изменилась. Отрезок состоит из точек A и B, поэтому нужно проследить, куда перейдут обе его конечные точки. Обозначим образы вершин A′ и B′.
Ответ. Образ отрезка — A′B′, где AA′ = BB′ = a как направленные отрезки. Расстояние между A′ и B′ равно расстоянию между A и B, поскольку перенос сохраняет разности координат и, следовательно, расстояния.
Условие. Построить образ треугольника ABC при повороте вокруг заданной оси на заданный угол и определить, какие его стороны сохраняют длину. Вершины треугольника могут находиться как на оси, так и вне её. Чтобы получить образ всей фигуры, достаточно найти образы трёх вершин.
Ответ. Образ — треугольник A′B′C′. Длины сохраняют все три стороны, а не только те, чьи вершины или стороны находятся на одинаковом расстоянии от оси: это следует из определения движения.
Условие. Дана фигура и плоскость симметрии. Построить образ фигуры и обосновать, что исходная фигура и её образ равны. Для построения можно выбрать характерные точки, например вершины многоугольника, а затем соединить их образы в том же порядке. Точки, лежащие в плоскости симметрии, останутся на месте.
Ответ. Построенная фигура — образ исходной при симметрии относительно плоскости. Фигуры равны, потому что отражение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
Ошибка: считать движением любое преобразование, которое сохраняет длины некоторых отрезков. Её допускают, если проверяют только одну пару точек и переносят результат на всю фигуру. Но определение требует, чтобы расстояние сохранялось между любой парой точек пространства. Проверь себя: сформулируй утверждение для произвольных точек A и B, а не только для выбранных отрезков.
Ошибка: при симметрии откладывать отрезок к образу не по перпендикуляру к плоскости. Так поступают, когда считают достаточным просто перенести точку на другую сторону плоскости. Тогда плоскость может не быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом. Проверь построение: линия должна быть перпендикулярна плоскости, а расстояния от точки пересечения до обоих концов должны быть равны.
Ошибка: задавать поворот пространства только центром, как поворот на плоскости. В пространстве одной неподвижной точки недостаточно: поворот определяется осью и углом. Проверь себя по неподвижным точкам: у поворота неподвижна вся ось, а не только её отдельная точка.
Ошибка: утверждать, что при движении сохраняются координаты или положение фигуры. Это возникает, когда сохранение формы принимают за отсутствие перемещения. На самом деле координаты могут измениться, хотя расстояния останутся прежними. Проверь вывод: сравни расстояния до и после преобразования, а не координаты или расположение фигуры.
Для построений движений нужны расстояния между точками и отрезками, а также перпендикулярность прямой и плоскости. Симметрия относительно плоскости продолжает знакомую идею отражения на плоскости, но теперь отражающая фигура сама является плоскостью в пространстве. Понимание движений помогает сравнивать пространственные фигуры и доказывать их равенство. Оно также пригодится при изучении преобразований и геометрических утверждений, в которых положение фигур меняется, а расстояния сохраняются.
Чем движение пространства отличается от произвольного перемещения фигуры?
Произвольное перемещение не обязательно сохраняет расстояния: например, фигуру можно растянуть или сжать. Движение сохраняет расстояние между любой парой точек, поэтому меняет положение фигуры, но не её форму и размеры.
Почему движение сохраняет не только длины, но и углы?
Угол определяется расстояниями между его вершиной и точками на его сторонах: эти расстояния задают треугольник. Движение сохраняет все стороны такого треугольника, а значит, сохраняет и его углы.
Чем поворот пространства отличается от поворота на плоскости?
Поворот пространства задаётся осью и углом, а поворот на плоскости — центром и углом. В пространстве неподвижны все точки оси, а остальные точки движутся по окружностям в плоскостях, перпендикулярных оси.
Как построить образ точки при симметрии относительно плоскости?
Через точку проводят перпендикуляр к плоскости симметрии. По другую сторону плоскости откладывают равный отрезок: его конец и будет образом точки, а плоскость окажется серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом.
Будет ли композиция двух движений движением?
Да. Если сначала выполнить одно движение, а затем другое, расстояние между образами любых двух точек останется прежним. Обратное преобразование движения тоже сохраняет расстояния, поэтому является движением.
9*. Движения пространства
