9.1. Определение движений

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — это соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка той же плоскости. Исходную точку называют прообразом, а соответствующую ей точку — образом. Например, если точка A при преобразовании переходит в A′, то A — прообраз, а A′ — её образ. Это понятие позволяет точно описать, как перемещаются отдельные точки и фигуры.

Движение плоскости — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Если точки A и B переходят в A′ и B′, условие движения записывают так: A′B′ = AB. Слово «любые» означает, что равенство должно выполняться для каждой пары точек плоскости. Именно этим свойством движение отличается от преобразования, которое может растягивать или сжимать фигуры.

Образ фигуры при преобразовании — множество образов всех точек исходной фигуры. Образ точки A обозначают A′, а образ фигуры F — F′. Например, если преобразовать все точки треугольника ABC, получим треугольник A′B′C′. Такое обозначение помогает видеть, какие элементы исходной фигуры соответствуют элементам полученной.

Как это устроено

Сохранение расстояний означает, что для произвольных точек A и B их образы A′ и B′ удовлетворяют равенству A′B′ = AB. Нельзя ограничиться несколькими выбранными точками: требование относится ко всей плоскости. Если расстояние между каждой парой не меняется, фигура не может стать больше или меньше. Поэтому движение сохраняет её линейные размеры.

Длина отрезка определяется расстоянием между его концами. Если концы AB переходят в A′ и B′, то A′B′ = AB, и отрезок сохраняет длину. Рассмотрим треугольник ABC: при движении его стороны переходят в соответствующие стороны A′B′, B′C′ и C′A′. Все три пары сторон равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Значит, движение переводит фигуру в равную ей фигуру, а не просто в похожую.

Углы тоже сохраняются, хотя в определении движения говорится только о расстояниях. Возьмём угол ABC и его образ ∠A′B′C′. Эти углы принадлежат треугольникам ABC и A′B′C′, у которых попарно равны все соответствующие стороны. По признаку равенства треугольников равны и соответствующие углы. Поэтому величина угла не меняется при движении.

Обратное преобразование возвращает каждую точку из образа в её прообраз. Поскольку движение сохраняет расстояния, при обратном переходе расстояния также остаются прежними: длины до и после движения совпадают. Поэтому обратное преобразование тоже является движением. Если выполнить сначала одно движение, а затем другое, расстояние не изменится ни на первом, ни на втором шаге, так что их последовательное выполнение снова даёт движение.

Что сохраняет движение

Таблица помогает быстро определить, какие свойства можно использовать после движения. Например, если известна длина стороны или величина угла исходной фигуры, те же значения будут у соответствующих элементов образа. Координаты точек в таблицу не входят: они могут измениться.

Разбор задач

Задача 1. Преобразование задано формулами x′ = x + 3, y′ = y − 2. Нужно установить, является ли оно движением. Поскольку координаты изменяются одинаково для всех точек, можно ожидать перенос, но проверим это через расстояние. Для проверки возьмём две произвольные точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂).

1. Найдём образы: A′(x₁ + 3; y₁ − 2) и B′(x₂ + 3; y₂ − 2). Одинаковые сдвиги координат применяются к обеим точкам.
2. По формуле расстояния получаем A′B′ = √((x₂ + 3 − x₁ − 3)² + (y₂ − 2 − y₁ + 2)²). После сокращения слагаемых это √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) = AB.
3. Равенство доказано для произвольных A и B. Значит, преобразование сохраняет все расстояния и является движением; геометрически это перенос на вектор (3; −2).

Задача 2. Преобразование задано формулами x′ = −x, y′ = y. Докажем, что это движение, и найдём образ точки A(2; −1). При смене знака абсциссы точка отражается относительно оси ординат. Однако для доказательства движения нужно проверить расстояния между произвольными точками, а не только описать отражение.

1. Пусть A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂). Их образы имеют координаты A′(−x₁; y₁) и B′(−x₂; y₂).
2. Тогда A′B′ = √((−x₂ + x₁)² + (y₂ − y₁)²). Так как (−x₂ + x₁)² = (x₂ − x₁)², получаем A′B′ = AB. Следовательно, преобразование является движением.
3. Для точки A(2; −1) подставляем x = 2 и y = −1: x′ = −2, y′ = −1. Значит, её образ — A′(−2; −1).

Задача 3. При движении точки A, B, C переходят в A′, B′, C′. Известно, что AB = 5, BC = 4 и ∠ABC = 60°. Требуется найти соответствующие длины и угол образа. Здесь важно сопоставить элемент исходной фигуры с тем элементом, в который он переходит: сторона AB — с A′B′, BC — с B′C′, а угол при B — с углом при B′.

1. По сохранению расстояний A′B′ = AB, поэтому A′B′ = 5. Аналогично B′C′ = BC = 4.
2. Движение сохраняет углы, следовательно, ∠A′B′C′ = ∠ABC = 60°.
3. Полученные значения относятся к соответствующим элементам образованного треугольника. Другие стороны и углы без дополнительных данных численно найти нельзя.

Ответ: A′B′ = 5, B′C′ = 4, ∠A′B′C′ = 60°.

Типичные ошибки

Считать движением любое преобразование плоскости — ошибка: преобразование может менять расстояния, например растягивать фигуру. Её допускают, когда воспринимают слово «движение» только как перемещение картинки. Проверяйте определение: для движения должно выполняться A′B′ = AB для любых точек A и B. Если найден хотя бы один случай, когда расстояние меняется, преобразование движением не является.

Проверка одной пары точек не доказывает, что перед нами движение. Случайно выбранные точки могут сохранить расстояние, хотя другие пары его изменят. Чтобы сделать общий вывод, обозначьте координаты произвольных точек и выведите равенство расстояний. В конце решения спросите себя, относится ли доказательство ко всем точкам, а не только к числовому примеру.

Образ точки — не само преобразование, а результат его применения. Например, запись A′ обозначает точку, в которую переходит A, а преобразование задаёт правило перехода от каждой исходной точки к её образу. Путаница возникает из-за похожих слов «образ» и «преобразование». Проверяйте смысл записи: у точки есть координаты, а преобразование описывают правилом или формулами.

Нельзя утверждать, что при движении сохраняются координаты всех точек. Такое ожидание появляется, если смешать геометрическое свойство фигуры с её положением на координатной плоскости. При переносе и отражении координаты меняются, хотя расстояния и углы остаются прежними. Для самопроверки подставьте координаты точки в формулы движения и сравните полученный образ с исходной точкой.

Связь с другими темами

Для работы с движениями полезно знать формулу расстояния между точками на координатной плоскости и понимать, что означают образ и прообраз. Формула позволяет проверить сохранение расстояний, подставив координаты произвольных точек и их образов. Понятия образа и прообраза помогают правильно сопоставлять соответствующие точки и фигуры.

Движения лежат в основе изучения симметрий, поворотов и переносов: каждый из этих способов преобразования сохраняет расстояния. Это свойство позволяет применять признаки равенства фигур и доказывать, что две фигуры равны, даже если они расположены по-разному. Поэтому знание определения движения пригодится и при распознавании преобразований, и в геометрических доказательствах.

Что запомнить

• Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
• При движении длина каждого отрезка остаётся неизменной.
• Движение сохраняет величины углов.
• Образ фигуры при движении равен исходной фигуре.
• Координаты точек при движении могут измениться.
• Обратное к движению преобразование тоже является движением.