9.2. Вращение вокруг оси и винтовое движение

Определения и обозначения

Вращение вокруг оси — преобразование пространства, при котором точки оси остаются на месте, а остальные точки поворачиваются вокруг неё на один и тот же угол. Иначе говоря, фигура поворачивается вокруг прямой, словно эта прямая служит стержнем. Такое определение помогает описывать поворот сразу всех точек тела, а не только движение одной выбранной точки.

Ось вращения — прямая, все точки которой неподвижны при вращении. Её можно представить как линию, вокруг которой поворачивают фигуру. Указание оси нужно, чтобы понять, какие точки не меняют положения и в каком направлении происходит поворот.

Угол вращения — общий угол, на который поворачиваются точки вокруг оси; при описании также указывают направление поворота. Одной величины угла недостаточно, если нужно однозначно различить поворот в одну или другую сторону. Угол позволяет сравнивать положения до и после преобразования и задавать поворот точно.

Винтовое движение — преобразование, составленное из вращения вокруг оси и переноса вдоль этой же оси. Сначала можно повернуть фигуру, а затем сдвинуть её по оси на заданное расстояние. Это понятие нужно для описания движения, в котором поворот сопровождается продвижением вперёд, например движения точки по винтовой линии.

Как это устроено

Чтобы задать вращение, указывают ось, угол и направление поворота. Ось определяет, вокруг какой прямой движется фигура, а угол и направление задают новое положение относительно исходного. Этих данных достаточно, потому что для каждой точки можно определить её положение относительно оси и повернуть её на установленный угол.

Точки оси не перемещаются, поскольку именно относительно них выполняется поворот. У любой точки вне оси есть ближайшая точка на оси — основание перпендикуляра. При вращении основание остаётся на месте, а исходная точка перемещается в плоскости, перпендикулярной оси, поэтому её траектория лежит в такой плоскости и имеет центр на оси.

Траектория точки вне оси — окружность постоянного радиуса. Радиусом служит расстояние от точки до оси, то есть длина перпендикуляра к ней. Поскольку вращение не приближает точку к оси и не удаляет от неё, это расстояние сохраняется на всём пути.

Винтовое движение соединяет два действия: поворот вокруг оси и перенос вдоль неё на заданное расстояние. Поворот меняет положение точки вокруг оси, а перенос сдвигает её вдоль оси; повторение этих действий приводит к движению по винтовой линии. Если точка лежит на оси, вращение её не сдвигает поперёк оси, но перенос перемещает её вдоль неё.

И вращение, и перенос сохраняют расстояния между точками: поворот не меняет форму фигуры, а при переносе все её точки сдвигаются одинаково. Поэтому их последовательное выполнение тоже не меняет расстояний. Образ фигуры при каждом из этих преобразований равен исходной фигуре: совпадает с ней по форме и размерам, хотя может занимать другое положение.

Сравнение вращения вокруг оси и винтового движения

Сначала определите, есть ли в преобразовании перенос вдоль оси: это отличает винтовое движение от вращения. Затем сравните траектории точки и проверьте, какие точки остаются неподвижными. Строка о сохранении расстояний показывает, что оба преобразования не меняют форму и размеры фигуры.

Разбор задач

Задача 1. Положение образа точки после поворота

Точка A не лежит на оси l. Опишите, где окажется её образ при вращении вокруг l на угол 90°. Нужно найти не численные координаты точки, а геометрическое место возможных положений и выбрать на нём положение, соответствующее заданному углу.

1. Опустите из A перпендикуляр на ось l. Обозначьте его основание O: при вращении оно остаётся неподвижным.
2. Проведите окружность с центром O и радиусом OA. Образ точки должен лежать на этой окружности, потому что расстояние до оси сохраняется.
3. Поверните луч OA вокруг оси на 90° в заданном направлении. Полученный луч пересечёт окружность в точке A′ — это образ точки.

Ответ: A′ находится на окружности с центром O и радиусом OA, в положении, полученном поворотом на 90° вокруг l. Окружность лежит в плоскости, перпендикулярной оси l, и проходит через исходную точку A.

Задача 2. Как определить угол вращения

Точка P движется по окружности вокруг оси l. Известны её начальное и конечное положения; требуется определить угол вращения. Само значение угла зависит от направления движения, поэтому важно не просто измерить угол между положениями, но и указать, в какую сторону перемещалась точка.

1. Найдите центр окружности на оси l и соедините его с начальным положением P₁ и конечным положением P₂.
2. Рассмотрите угол между радиусами, проведёнными к P₁ и P₂. Это центральный угол, соответствующий дуге между положениями точки.
3. Уточните направление поворота: выберите дугу, по которой точка переместилась от P₁ к P₂. Тогда величина угла вместе с направлением задаёт вращение.

Ответ: угол вращения определяют как центральный угол между радиусами к начальному и конечному положениям точки, учитывая направление движения. Если известна только пара положений, но не направление, возможны два направления поворота.

Задача 3. Винтовое движение точки

Тело поворачивается вокруг оси на 60° и одновременно перемещается вдоль неё на 4 см. Нужно описать преобразование и путь точки, не лежащей на оси. Здесь нельзя ограничиться одним поворотом: перенос меняет положение точки вдоль оси и добавляет ещё одно действие к вращению.

1. Сначала мысленно выполните вращение вокруг оси на 60° в заданном направлении. Точка сместится по окружности, перпендикулярной оси.
2. Затем перенесите полученное положение вдоль оси на 4 см. Так определяется конечное положение точки в результате обоих действий.
3. Если движение продолжается, последовательные повороты и переносы складываются в винтовую линию. Она обвивает ось и одновременно продвигается вдоль неё.

Ответ: задано винтовое движение, состоящее из поворота на 60° и переноса вдоль оси на 4 см. Точка вне оси движется по винтовой линии, а её конечное положение получают после выполнения обоих действий.

Типичные ошибки

Ошибка — считать неподвижной только одну точку оси. Такое впечатление возникает, если представить ось как центр окружности в одном сечении; но неподвижна вся прямая. Проверка простая: возьмите любую другую точку на оси — при вращении она тоже не меняет положения.

Иногда полагают, что точка вне оси может двигаться по окружности в любой плоскости. Это связано с тем, что в плоских задачах плоскость вращения часто заранее задана. В пространстве плоскость траектории перпендикулярна оси; для проверки опустите перпендикуляр от точки к оси и убедитесь, что он лежит в плоскости этой окружности.

Винтовое движение путают с вращением, потому что оба включают поворот вокруг оси. Но винтовое движение содержит ещё и перенос вдоль неё, поэтому точка постепенно продвигается по оси. Проверьте описание преобразования: если указано только изменение угла, это вращение, а наличие заданного сдвига означает винтовое движение.

Ещё одна ошибка — считать, что при вращении меняются расстояния между точками фигуры. Такое предположение возникает, когда точки тела представляют движущимися по разным траекториям. Однако все точки поворачиваются согласованно, и расстояние между любой парой сохраняется; это можно проверить, сравнив длину отрезка до и после поворота.

Связь с другими темами

Для изучения вращения нужны понятия окружности и угла, а также представление о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Связь с движением пространства позволяет понимать, почему вращение и винтовое движение сохраняют расстояния. Эти преобразования встречаются при изучении симметрий и движений твёрдых тел, а также помогают описывать пространственные модели, где поворот сочетается со сдвигом.

Что запомнить

• При вращении вокруг оси все точки оси неподвижны.
• Все точки вне оси поворачиваются на один и тот же угол.
• Траектория точки вне оси — окружность в плоскости, перпендикулярной оси.
• Расстояние от точки до оси при вращении сохраняется.
• Винтовое движение сочетает вращение и перенос вдоль оси.
• Оба преобразования сохраняют расстояния между точками.