9.3. Центральная симметрия и симметрия относительно прямой

Определения и обозначения

Центральная симметрия с центром O сопоставляет каждой точке A точку A′ так, что O — середина отрезка AA′. Это означает, что точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Такая запись помогает точно задать преобразование и построить образ точки; сам центр O переходит в себя.

Точки A и A′ называют симметричными относительно центра, если этот центр является серединой AA′. Иначе говоря, от центра до обеих точек одинаковое расстояние, но точки расположены по разные стороны от него. Это понятие позволяет говорить о паре соответствующих точек, не описывая каждый раз построение.

Симметрия относительно прямой l сопоставляет точке A точку A′ по другую сторону от l так, что прямая l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину. Значит, l является серединным перпендикуляром к отрезку AA′. Условие нужно, чтобы образ был расположен однозначно; точка, лежащая на l, остаётся на месте.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя. При таком преобразовании каждой точке фигуры соответствует точка той же фигуры. Это определение помогает отличить настоящую ось от прямой, которая лишь делит изображение на похожие части.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную A относительно центра O, проведи прямую AO. Продолжи её за центр и отложи отрезок OA′, равный OA. Тогда O лежит между A и A′, а расстояния от него до концов равны, поэтому O — середина AA′. Если A совпадает с O, образ тоже совпадает с O: центр не смещается.

Для симметрии относительно прямой сначала опусти из A перпендикуляр к этой прямой. Затем продолжи перпендикуляр на другую сторону и отложи от основания отрезок такой же длины, как от A до прямой. Перпендикулярность и равенство двух частей означают, что прямая делит отрезок между A и A′ пополам. Поэтому она и есть серединный перпендикуляр, а точка на самой оси не отдалена от неё и остаётся на месте.

Обе симметрии сохраняют расстояния и углы: соответствующие точки оказываются расположены так, что расстояние между любой парой точек не меняется, как не меняется и угол между соответствующими направлениями. При центральной симметрии это видно из поворота на 180° вокруг центра; при отражении относительно прямой точки переходят на равные расстояния по разные стороны оси. Поэтому образ фигуры сохраняет форму и размеры исходной, хотя его положение может измениться.

Прямая при центральной симметрии переходит в прямую. Если она проходит через центр, её точки переходят на ту же прямую, поэтому прямая остаётся на месте; если не проходит, её образ параллелен ей. При симметрии относительно прямой образом прямой также будет прямая, но она может совпасть с исходной или оказаться другой. В обоих преобразованиях отрезок переходит в равный ему отрезок, поскольку его концы переходят в соответствующие точки, а расстояния сохраняются.

Чтобы проверить, симметрична ли фигура, выбери предполагаемый центр или ось и проследи, куда переходят точки фигуры. Фигура обладает симметрией только тогда, когда образ каждой её точки принадлежит этой же фигуре и преобразование переводит её в себя целиком. Например, у прямоугольника центр симметрии находится в пересечении диагоналей, а его оси проходят через середины противоположных сторон. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии — прямая через вершину и середину основания.

Сравнение центральной симметрии и симметрии относительно прямой

Сравнивай преобразования по тому, что их задаёт и как расположены точка и образ: в одном случае важен центр, в другом — ось. Таблица также показывает, какие элементы остаются на месте и как преобразуются прямые. Ею удобно пользоваться при построении: сначала выбери нужный столбец, затем проверь соответствующее условие.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку A′, симметричную данной точке A относительно заданного центра O. Нужно не просто получить точку на таком же расстоянии от центра, но и расположить её на одной прямой с A так, чтобы O разделял отрезок пополам.

1. Проведи прямую через A и O. Она задаёт направление, на котором должны лежать точка и её образ.
2. Продолжи прямую за O и отложи отрезок OA′, равный OA. Равные части по обе стороны от O гарантируют, что O — середина AA′.
3. Проверь, что O находится между A и A′. Если A = O, отметь A′ в той же точке.

Ответ: точка A′ на прямой AO по другую сторону от O, причём OA′ = OA.

Задача 2. Построить образ треугольника ABC при симметрии относительно прямой l. Преобразование задаётся для каждой точки отдельно, поэтому сначала нужно получить образы всех трёх вершин, а затем восстановить фигуру.

1. Из A, B и C опусти перпендикуляры на l. Основание каждого перпендикуляра будет одинаково удалено от вершины и её образа.
2. На продолжении каждого перпендикуляра за l отложи отрезок, равный расстоянию от соответствующей вершины до l. Так получатся A′, B′ и C′.
3. Соедини A′, B′ и C′. Равенство соответствующих расстояний гарантирует, что построены именно образы вершин, а не произвольные точки по другую сторону оси.

Ответ: искомая фигура — треугольник A′B′C′.

Задача 3. Определить, имеет ли заданная фигура центр или ось симметрии, и найти их, если они есть. Недостаточно заметить, что отдельные части выглядят похожими: проверять нужно соответствие всех точек фигуры при выбранном преобразовании.

1. Для предполагаемого центра проверь, что у точек фигуры есть парные точки, а центр является серединой отрезков, соединяющих каждую пару.
2. Для предполагаемой оси проверь, что отрезок от любой точки до её образа перпендикулярен оси, а ось делит его пополам.
3. Убедись, что образы принадлежат той же фигуре и покрывают её целиком. Если хотя бы одна точка переходит за пределы фигуры, симметрии относительно выбранного объекта нет.

Ответ: центр или ось существуют, если соответствующая симметрия переводит фигуру в себя; найденный центр или прямая должны удовлетворять условиям для всех её точек.

Типичные ошибки

При центральной симметрии иногда откладывают отрезок нужной длины, но не проверяют, что центр находится между точкой и образом. Тогда равенство расстояний само по себе не гарантирует правильного построения: обе точки могут оказаться по одну сторону от центра. Проверь, что A, O и A′ лежат на одной прямой, O находится между концами и OA = OA′.

При симметрии относительно прямой можно провести от точки к образу наклонный отрезок и отложить равную длину. Ошибка возникает потому, что учитывают расстояние, но забывают ориентацию отрезка относительно оси. Образ должен лежать на перпендикуляре к оси, а ось — проходить через середину соединяющего точки отрезка; проверь оба условия.

Иногда считают, что всякая прямая через центр при центральной симметрии переходит в другую прямую. Но точки такой прямой остаются на ней: каждая точка переходит на противоположную сторону центра по той же прямой. Поэтому прямая через центр переходит в себя, а прямая, не проходящая через центр, — в параллельную ей.

Симметрию фигуры путают с симметрией нескольких выбранных точек. Даже если две вершины или части рисунка соответствуют друг другу, фигура может не перейти в себя целиком. Проверяй образ каждой точки и убеждайся, что он принадлежит той же фигуре; для построенной фигуры дополнительно сравни её границу и размеры с исходными.

Связь с другими темами

Для построений нужны понятия середины отрезка и перпендикуляра, а также умение сравнивать отрезки и углы. Без них нельзя проверить, что центр делит отрезок пополам или что ось является серединным перпендикуляром. Эти знания опираются на геометрию треугольников и помогают обосновывать построения, а не только выполнять их на чертеже.

Симметрии относятся к движениям и преобразованиям плоскости: они меняют положение фигуры, сохраняя её расстояния и углы. Это свойство полезно при доказательстве геометрических утверждений, исследовании свойств фигур и построении чертежей. Умение сопоставлять точки и их образы также помогает распознавать закономерности в расположении элементов.

Что запомнить

• При центральной симметрии центр — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• При симметрии относительно прямой ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• Точки центра и оси остаются на месте при соответствующих симметриях.
• Обе симметрии сохраняют расстояния и величины углов.
• Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую.
• Фигура симметрична относительно центра или прямой, если преобразование переводит её в себя.