9.4. Зеркальная симметрия и скользящие симметрии

Определения и обозначения

Зеркальная симметрия — преобразование пространства, при котором точка переходит в точку, симметричную ей относительно заданной плоскости. Плоскость здесь работает как зеркало: она меняет положение точки на противоположную сторону, не меняя её расстояния до зеркала. Такое определение позволяет описывать отражение не только точки, но и целой фигуры.

Плоскость симметрии — плоскость, относительно которой выполняется зеркальная симметрия; каждая её точка остаётся на месте. Если обозначить эту плоскость, например, α, то при отражении именно относительно α строят образ каждой точки фигуры. Это помогает точно указать, какое именно отражение имеется в виду.

Скользящая симметрия — преобразование, составленное из зеркального отражения относительно плоскости и переноса параллельно этой плоскости. Сначала фигуру отражают, а затем сдвигают вдоль плоскости на заданное расстояние и направление. Такое преобразование нужно, когда одного отражения недостаточно, чтобы описать перемещение фигуры.

Скользящее отражение — результат скользящей симметрии. Перенос при этом обязательно направлен вдоль плоскости отражения, а не поперёк неё. Термин помогает отличать сочетание отражения со сдвигом от обычного зеркального отражения.

Как это устроено

При зеркальной симметрии плоскость отражения действует как зеркало. Чтобы получить образ точки, из неё проводят перпендикуляр к плоскости и продолжают его на другую сторону на такое же расстояние. Поэтому отрезок между точкой и её образом пересекает плоскость под прямым углом, а точка пересечения является его серединой. Такое построение однозначно: для каждой исходной точки получается ровно один образ.

Точки, лежащие в плоскости отражения, не перемещаются: они уже находятся на зеркале, и отражать их на другую сторону некуда. Расстояния сохраняются, потому что при отражении меняется только положение относительно плоскости, а не длина отрезков между точками. Поэтому соответствующие стороны треугольника и другие расстояния в фигуре остаются равными. Из этого следует, что исходная фигура и её зеркальный образ равны.

Скользящую симметрию выполняют в два действия. Сначала каждую точку отражают относительно выбранной плоскости, затем полученный образ переносят на один и тот же вектор, параллельный плоскости. Вектор задаёт и направление, и величину сдвига; без него положение конечного образа определить нельзя. Например, при переносе на 4 см все точки отражённой фигуры сдвигаются на 4 см в одном направлении.

Отражение и перенос вдоль плоскости можно поменять местами. Перенос не уводит точку с одной стороны плоскости на другую, поэтому отражение до сдвига или после него приводит к одной и той же конечной точке. Это свойство удобно для построения: можно выбрать порядок, в котором проще работать с конкретной фигурой. Главное — выполнять перенос именно параллельно плоскости отражения.

При ненулевом переносе неподвижных точек у скользящей симметрии нет. Точка вне плоскости после отражения оказывается по другую сторону от неё, так что совпасть с исходной не может; последующий сдвиг этого не меняет. Точка на плоскости отражением не перемещается, но переноситcя вдоль неё на ненулевой вектор. Значит, и она не остаётся на прежнем месте.

Сравнение зеркальной и скользящей симметрий

Сравнивайте сначала состав преобразования, затем проверяйте неподвижные точки и сохранение расстояний. Если после отражения фигуру сдвигают, для полного описания нужно указать также вектор переноса. Последняя строка помогает не пытаться применить к скользящему отражению правило о перпендикулярном отрезке без учёта сдвига.

Разбор задач

Построение образа точки

Точка A находится на расстоянии 3 см от плоскости α. Постройте её образ при зеркальной симметрии относительно α. По условию известна длина перпендикуляра от точки до плоскости, поэтому достаточно построить такой же отрезок по другую сторону α. Образ обозначим A′.

1. Через A проведите прямую, перпендикулярную плоскости α, и отметьте точку пересечения H.
2. На продолжении AH за плоскость отложите отрезок HA′ = 3 см.
3. Проверьте, что H лежит между A и A′, а AH = HA′.

Точка H является серединой отрезка AA′, а этот отрезок перпендикулярен α. Значит, плоскость α делит отрезок между точкой и образом пополам под прямым углом, как и требуется для зеркальной симметрии. Ответ: точка A′ расположена по другую сторону α на расстоянии 3 см от неё.

Равенство отражённого треугольника

Треугольник отражают относительно плоскости α. Объясните, почему его образ равен исходному треугольнику, и укажите точки, которые не перемещаются. Здесь нужно отдельно обосновать сохранение размеров и назвать неподвижные точки. Это не обязательно вершины данного треугольника: они остаются на месте только в случае, если лежат в плоскости α.

1. Обозначьте вершины исходного треугольника A, B, C, а их образы — A′, B′, C′.
2. При отражении сохраняются расстояния, поэтому AB = A′B′, BC = B′C′ и CA = C′A′.
3. Следовательно, треугольники ABC и A′B′C′ равны по трём сторонам.

Равенство соответствующих сторон означает, что образ имеет те же размеры и форму, что исходный треугольник. На месте остаются все точки плоскости α, а точки вне неё переходят на другую сторону. Ответ: отражённый треугольник равен исходному; неподвижны точки плоскости α.

Отражение со сдвигом

Фигуру сначала отражают относительно плоскости α, затем переносят на 4 см вдоль α. Опишите построение образа точки и выясните, есть ли у преобразования неподвижные точки. Вектор переноса задаёт направление сдвига, а его длина равна 4 см. В условии направление не указано, поэтому на чертеже его можно выбрать и обозначить вдоль α.

1. Для выбранной точки X проведите перпендикуляр к α и постройте её зеркальный образ X′ на равном расстоянии с другой стороны.
2. От X′ отложите вдоль α вектор переноса длиной 4 см; конец вектора обозначьте X″.
3. Повторите эти действия для каждой точки фигуры, сохраняя одно направление и один вектор.

Полученные точки X″ образуют скользящий образ фигуры. Если X лежит вне α, отражение меняет её сторону относительно плоскости; если лежит на α, ненулевой перенос всё равно сдвигает её. Поэтому ни одна точка не остаётся на месте. Ответ: образ строят отражением и переносом на 4 см вдоль α; неподвижных точек нет.

Типичные ошибки

Иногда плоскость отражения путают с плоскостью, перпендикулярной отрезку между точкой и её образом, и считают, что это разные плоскости. На самом деле именно плоскость отражения перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Ошибка возникает, если помнить только одно из двух условий построения. Проверьте себя: отрезок должен пересекать плоскость под прямым углом, а расстояния от его концов до плоскости должны быть равны.

Неверно считать неподвижными все точки фигуры, расположенные по одну сторону от плоскости. Отражение перемещает точки, не лежащие на плоскости, на противоположную сторону; неподвижны только точки самой плоскости. Путаница возникает из-за того, что точка может оставаться на своей стороне при некоторых других преобразованиях. Проверка простая: неподвижная точка должна совпадать со своим образом, а при отражении это возможно лишь на плоскости.

В скользящей симметрии перенос иногда выполняют поперёк плоскости отражения. Тогда точка удаляется от плоскости или приближается к ней, поэтому получается не требуемое скользящее отражение. Ошибку допускают, принимая слово «скользящая» за любой сдвиг фигуры. Перед построением проверьте, что вектор переноса параллелен плоскости, то есть направлен вдоль неё.

Ещё одна ошибка — считать скользящую симметрию обычным отражением и оставлять точки плоскости на месте. При ненулевом переносе они тоже сдвигаются, а точки вне плоскости дополнительно отражаются. Причина — внимание только к первой части преобразования. Чтобы проверить результат, последовательно учтите оба действия и убедитесь, что ни одна точка не совпадает со своим исходным положением.

Связь с другими темами

Для построений нужны знакомые понятия: отражение точки относительно плоскости, перпендикуляр и середина отрезка. Тема опирается на движение пространства — преобразование, сохраняющее расстояния; поэтому можно обосновать равенство фигуры и её образа. Знание зеркальной и скользящей симметрий пригодится при изучении движений и других преобразований пространства. Эти идеи также помогают анализировать симметрию геометрических тел.

Что запомнить

• Зеркальное отражение задаётся плоскостью.
• Плоскость отражения состоит из неподвижных точек.
• Отрезок между точкой и её образом перпендикулярен плоскости отражения.
• Плоскость отражения делит отрезок между точкой и её образом пополам.
• Скользящая симметрия — отражение и перенос вдоль плоскости отражения.
• При ненулевом скольжении неподвижных точек нет.