"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Движение пространства сохраняет расстояния, поэтому не меняет форму и размеры фигур. Одно из простейших движений — зеркальная симметрия относительно плоскости. Последовательное выполнение нескольких отражений позволяет получить перенос, поворот и более сложные преобразования. Главная идея темы состоит в том, что любое движение пространства можно представить как композицию не более чем четырёх отражений. Это помогает описывать сложное движение через простые действия и понимать, как расположение плоскостей влияет на результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение пространства — преобразование, которое сохраняет расстояние между любой парой точек. Если фигуру подвергнуть движению, её форма и размеры не изменятся, хотя её положение может стать другим. Это определение позволяет проверять, является ли преобразование движением.
Зеркальная симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором плоскость служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Точки самой плоскости остаются на месте, а точки по разные стороны от неё меняются местами симметрично. Это простейший способ изменить положение фигуры, не меняя её размеров.
Композиция преобразований — последовательное выполнение нескольких преобразований: сначала одного, затем другого и так далее. Результатом композиции становится одно преобразование, связывающее исходную точку с её конечным образом. Порядок действий обычно имеет значение, поэтому его нужно указывать.
Разложение движения в композицию зеркальных симметрий — представление движения как последовательности отражений относительно плоскостей. Вместо одного сложного перемещения можно изучать несколько простых шагов. Такой способ помогает установить, какие отражения приводят к нужному результату.
При отражении точки её образ расположен по другую сторону плоскости на таком же расстоянии от неё. Если отразить две точки, их составляющие вдоль плоскости не изменятся, а перпендикулярные составляющие поменяют знак у обеих точек. Поэтому разность этих составляющих сохраняет длину, и расстояние между точками остаётся прежним. Значит, отражение сохраняет расстояния и является движением.
Пусть сначала выполнено одно движение, а затем другое. После первого расстояние между выбранными точками не меняется, и после второго оно также остаётся прежним. Значит, после всей последовательности расстояние между конечными образами равно исходному. Так объясняется, почему композиция движений снова является движением.
Если плоскости параллельны, удобно рассмотреть прямую, перпендикулярную им. Первое отражение переносит точку на равное расстояние по эту сторону первой плоскости, второе — ещё на столько же в том же общем направлении. Поэтому композиция даёт перенос на 2d, где d — расстояние между плоскостями; его направление перпендикулярно плоскостям и идёт от плоскости первого отражения ко второй. Если плоскости пересекаются, то их общая линия остаётся неподвижной при обоих отражениях. В сечении, перпендикулярном этой линии, отражения относительно двух пересекающихся прямых дают поворот на 2α, где α — угол между плоскостями, то есть композиция в пространстве является поворотом вокруг общей линии.
Чтобы представить движение отражениями, сначала выбирают точку и сравнивают её исходное положение с образом. Отражение относительно подходящей плоскости переводит выбранную точку в нужное место: такой плоскостью можно взять серединную плоскость отрезка между точкой и её образом. Но этим положение остальных точек ещё не обязательно согласуется с заданным движением. Поэтому далее выбирают плоскости так, чтобы совместить образы других точек и направлений; после каждого шага проверяют, что уже совмещённые элементы не нарушены.
В пространстве можно последовательно совместить положение точки, затем направление, а после — положение ещё одной точки, подбирая отражения относительно подходящих плоскостей. Если после этих шагов остаётся несовпадение, оно сводится к движению в части пространства, которую можно согласовать дополнительными отражениями. Так получают представление произвольного движения не более чем четырьмя отражениями. Чётное число отражений сохраняет ориентацию, а нечётное меняет её: каждое отдельное отражение переворачивает ориентацию, а два таких переворота возвращают исходную.
| Число отражений и расположение плоскостей | Результат композиции | Параметры результата | Сохранение ориентации |
|---|---|---|---|
| Одно отражение | Зеркальная симметрия | Плоскость отражения | Изменяет |
| Два отражения в параллельных плоскостях | Перенос | Перпендикулярное плоскостям направление, длина 2d | Сохраняет |
| Два отражения в пересекающихся плоскостях | Поворот вокруг линии пересечения | Угол 2α; ось — общая линия плоскостей | Сохраняет |
| Три отражения | Движение, меняющее ориентацию | Зависит от положения всех трёх плоскостей | Изменяет |
| Не более четырёх отражений: произвольное движение пространства | Любое движение пространства | Подбираются плоскости, переводящие точки и направления в образы | Зависит от чётности числа отражений |
Сначала определите взаимное расположение плоскостей: параллельность ведёт к переносу, пересечение — к повороту. Затем найдите расстояние или угол, чтобы определить параметры результата. Последний столбец позволяет проверить ориентацию, не вычисляя координаты точек.
Задача 1. Две параллельные плоскости находятся на расстоянии d. Определите результат последовательного отражения относительно них.
Ответ: перенос перпендикулярно плоскостям от первой ко второй на 2d.
Задача 2. Две плоскости пересекаются под углом α. Определите, какое движение задаёт последовательное отражение относительно них.
Ответ: поворот вокруг линии пересечения плоскостей на угол 2α. Если изменить порядок отражений, направление поворота изменится.
Задача 3. Докажите, что заданное движение пространства можно представить как композицию не более чем четырёх зеркальных симметрий.
Ответ: любое движение пространства представимо композицией не более чем четырёх отражений относительно подходящих плоскостей.
Ошибочно считать, что любые два отражения дают перенос. Перенос получается, только если плоскости параллельны; пересекающиеся плоскости задают поворот. Ошибку допускают, когда замечают лишь сам факт выполнения двух отражений. Проверка: сначала установите, есть ли у плоскостей общая линия.
Угол поворота при двух отражениях в пересекающихся плоскостях не равен углу между плоскостями: он вдвое больше, то есть 2α. Легко забыть, что поворот складывается из двух последовательных изменений направления. Для проверки представьте сечение плоскостью, перпендикулярной линии пересечения, и проследите оба отражения.
Нельзя без проверки менять порядок отражений. В композиции результат обычно зависит от того, какое преобразование выполнено первым; например, направление поворота при пересекающихся плоскостях меняется на противоположное. Ошибку вызывает привычка считать последовательные действия взаимозаменяемыми. Проверьте порядок и проследите, куда перемещается выбранная точка.
Двух отражений не всегда достаточно, чтобы получить произвольное движение пространства. Два отражения дают перенос или поворот в описанных случаях, но общее движение может требовать большего числа шагов. Чтобы не делать неверный вывод, сравните не только образ одной точки, но и направления и положение других точек. Для общего случая достаточно не более четырёх отражений.
Для изучения темы нужны определение движения пространства, отражение относительно плоскости и понятие композиции преобразований. Они помогают понять, почему отражение сохраняет расстояния и как несколько отражений образуют новое движение. Без учёта порядка действий нельзя верно определить итоговую композицию.
Разложение движений связано с переносами, поворотами и классификацией движений пространства. Оно показывает, как сложное перемещение можно представить последовательностью простых преобразований. Это также даёт способ анализировать движение по положению его плоскостей, осей и точек.
Почему отражение относительно плоскости сохраняет расстояния?
Плоскость проходит через середину отрезка между точкой и её образом и перпендикулярна этому отрезку. При отражении обе точки пары сохраняют одинаковые составляющие вдоль плоскости, а перпендикулярные составляющие меняют знак. Поэтому расстояние между любыми двумя точками не меняется.
Как определить результат двух отражений относительно параллельных плоскостей?
Результат — перенос перпендикулярно плоскостям. Его длина равна удвоенному расстоянию между плоскостями, а направление идёт от плоскости первого отражения ко второй.
Почему два отражения относительно пересекающихся плоскостей дают поворот?
При последовательных отражениях общая линия плоскостей остаётся на месте. В сечении, перпендикулярном этой линии, два отражения относительно пересекающихся прямых дают поворот, поэтому в пространстве получается поворот вокруг общей линии.
Как связаны угол между плоскостями и угол полученного поворота?
Угол поворота равен удвоенному углу между плоскостями. При перестановке порядка отражений направление поворота меняется на противоположное.
Почему для разложения произвольного движения пространства может понадобиться четыре отражения?
Отражениями можно последовательно совместить образы выбранной точки, затем направления и положения ещё одной точки. В общем случае после этого остаётся движение, для устранения которого может понадобиться дополнительное отражение. Поэтому для произвольного движения достаточно не более четырёх отражений, а двух обычно недостаточно.
9.5. Разложение движений в композицию зеркальных симметрии
