9.6. Композиция двух зеркальных симметрий

Определения и обозначения

Зеркальная симметрия относительно прямой — преобразование, при котором прямая служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Иначе говоря, точка и её отражение находятся на одной перпендикулярной к оси прямой и на одинаковом расстоянии от неё. Это определение позволяет точно строить образ точки и понимать, что сама ось при отражении остаётся на месте.

Композиция преобразований — результат последовательного выполнения двух преобразований. В записи «сначала отражение относительно первой прямой, затем относительно второй» порядок действий существенен: сначала находят образ точки при первом отражении, а уже его отражают ещё раз. Понятие композиции нужно, чтобы описать итог двух действий одним преобразованием.

Поворот — преобразование вокруг заданной точки на определённый угол. При повороте расстояние каждой точки до центра сохраняется, а её положение меняется в соответствии с углом и направлением вращения. Это определение помогает распознать результат композиции, когда оси отражений пересекаются.

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор, то есть на одинаковое расстояние в одном направлении. Поэтому фигура не разворачивается и не меняет форму: каждый её элемент смещается одинаково. Это понятие нужно для описания композиции отражений относительно параллельных осей.

Как это устроено

Рассмотрим точку A, её образ A₁ при первом отражении и образ A₂ при втором. Отражение сохраняет расстояния между точками, поэтому расстояние между любыми двумя точками после первого шага такое же, как до него; второй шаг также сохраняет расстояния. Следовательно, и вся композиция сохраняет расстояния, хотя её результат может быть переносом или поворотом, а не отражением.

Если оси отражений совпадают, первая симметрия переводит точку на другую сторону общей прямой, сохраняя перпендикулярное расстояние до неё. Второе отражение снова меняет сторону, поэтому точка возвращается точно в исходное положение. Так происходит с каждой точкой, значит, композиция является тождественным преобразованием — преобразованием, оставляющим все точки на месте.

Пусть оси параллельны, а расстояние между ними равно d. Отразив точку относительно первой оси, мы переносим её на такое же расстояние через эту ось; при отражении относительно второй оси происходит ещё один переход через ось. Оба смещения направлены перпендикулярно прямым в одну сторону — от первой оси ко второй, поэтому итоговое смещение равно d + d = 2d. Оно одинаково для любой точки, а значит, результат — параллельный перенос.

Если оси пересекаются в точке O, эта точка лежит на обеих осях и остаётся неподвижной при каждом отражении. Возьмём луч OA и проследим, как меняется его направление: первое отражение переводит луч на другую сторону первой оси, а второе отражает получившееся направление относительно второй оси. Расстояние точки до O сохраняется, а направление меняется, поэтому композиция действует как поворот вокруг O.

При отражении направление луча меняется относительно оси на равный угол, но по другую сторону от неё. Два изменения складываются, поэтому угол поворота равен удвоенному углу между осями. Если поменять отражения местами, итоговый поворот будет направлен в противоположную сторону: величина угла и центр останутся прежними.

Результат композиции двух зеркальных симметрий

Сначала определите взаимное расположение осей — от этого зависит вид преобразования. Затем найдите нужный параметр: для параллельных прямых это расстояние между ними, а для пересекающихся — угол между ними. При повороте обязательно учитывайте порядок отражений, поскольку он задаёт направление.

Разбор задач

Задача 1. Две параллельные прямые находятся на расстоянии 3 см. Как изменится положение точки после отражения сначала относительно первой прямой, затем относительно второй?

1. Оси параллельны, поэтому композиция будет переносом, а не поворотом.

2. Перенос направлен перпендикулярно прямым от первой оси ко второй. Его длина равна удвоенному расстоянию между осями: 2 · 3 = 6 см.

Ответ: точка переместится на 6 см перпендикулярно прямым в сторону от первой оси ко второй.

Задача 2. Две оси пересекаются под углом 30°. Опишите композицию отражений сначала относительно первой оси, затем относительно второй.

1. Так как оси пересекаются, итогом будет поворот вокруг точки их пересечения.

2. Угол поворота вдвое больше угла между осями: 2 · 30° = 60°. При заданном порядке отражений поворот направлен от первой оси ко второй; при обратном порядке направление изменилось бы на противоположное.

Ответ: поворот на 60° вокруг точки пересечения осей; направление определяется порядком отражений.

Задача 3. Точку A(x, y) сначала отразили относительно прямой y = x, а затем относительно оси Ox. Найдите координаты образа и назовите композицию.

1. При отражении относительно y = x координаты меняются местами: A(x, y) переходит в A₁(y, x).

2. При отражении относительно Ox абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак: A₁(y, x) переходит в A₂(y, −x). Оси пересекаются в начале координат под углом 45°, поэтому результат — поворот на 90°; порядок отражений задаёт направление по часовой стрелке.

Ответ: координаты образа — (y, −x), композиция — поворот на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что при параллельных осях перенос равен расстоянию между ними. Такую величину берут потому, что замечают только один переход через ось. Проверьте результат, проследив путь точки после обоих отражений: смещения складываются, поэтому перенос равен удвоенному расстоянию.

Вторая ошибка — принимать угол поворота за угол между пересекающимися осями. Это происходит, если учитывать только одно отражение и не проследить изменение направления после второго. Чтобы проверить ответ, умножьте угол между осями на 2.

Третья ошибка — забывать, что порядок отражений влияет на направление поворота. Сами оси и величина угла могут не измениться, поэтому легко решить, что действия можно переставлять. Сравните направление поворота при двух порядках: оно должно быть противоположным.

Четвёртая ошибка — смешивать случаи параллельных и пересекающихся осей или считать совпадающие оси обычной парой параллельных. Причина — попытка сразу найти длину или угол, не проверив расположение прямых. Сначала установите, совпадают ли оси, параллельны ли они или пересекаются: совпадающие дают тождественное преобразование, параллельные — перенос, пересекающиеся — поворот.

Связь с другими темами

Для работы с композицией нужно знать определение зеркальной симметрии и уметь строить образ точки относительно прямой. Это позволяет проследить два отражения по отдельности и не перепутать их порядок. Опора на определение также помогает понять, почему точка на оси не перемещается.

При разборе случаев с пересекающимися осями нужно уметь измерять углы, а для параллельных — расстояния. Понимание поворота и параллельного переноса помогает назвать результат композиции и указать его параметры. Эти преобразования связаны общей идеей сохранения расстояний.

Результаты пригодятся при изучении движений плоскости и анализе преобразований фигур. Вместо двух построений можно сразу определить, каким движением является их композиция. Это упрощает поиск образов точек и помогает описывать изменения положения целых фигур.

Что запомнить

• Композиция двух зеркальных симметрий сохраняет расстояния.
• При совпадающих осях композиция является тождественным преобразованием.
• При параллельных осях получается перенос перпендикулярно осям.
• Длина такого переноса вдвое больше расстояния между осями.
• При пересекающихся осях получается поворот вокруг точки пересечения.
• Угол поворота вдвое больше угла между осями.
• Перестановка порядка отражений меняет направление поворота.