"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Композиция двух вращений — это последовательное выполнение двух поворотов плоскости: сначала одно вращение, затем другое. Она помогает описывать результат нескольких преобразований одной операцией. Если центры вращений совпадают, сохраняется этот центр, а ориентированные углы складываются. При разных центрах итог тоже остаётся движением: при ненулевой сумме углов это вращение с новым центром, а при нулевой — параллельный перенос. Чтобы верно определить результат, нужно учитывать направления углов и порядок действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вращение — преобразование плоскости, при котором каждая точка поворачивается вокруг фиксированной точки на один и тот же ориентированный угол. Фигуры при этом не меняют форму и размер: расстояния между точками сохраняются. Это определение позволяет описать поворот всей плоскости, а не только одной фигуры.
Центр вращения — неподвижная точка, вокруг которой происходит поворот, а угол вращения показывает его величину и направление. Обычно поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой — отрицательным. Знак нужен, чтобы не путать повороты на одинаковую величину, но в разные стороны.
Композиция вращений — последовательное выполнение двух преобразований: сначала первого, затем второго. Образ точки после первого вращения становится её исходным положением для второго. Такое обозначение помогает заменить цепочку действий одним итоговым преобразованием.
Суммарный угол вращения — алгебраическая сумма углов двух вращений: θ = α + β. Суммируют именно углы со знаками, а повороты, отличающиеся на 2π, задают одинаковое положение. Эта величина помогает решить, будет ли результат вращением или, в особом случае, переносом.
Когда оба вращения имеют один центр O, первая операция переводит луч из исходного положения в новое, а вторая поворачивает полученный луч вокруг того же O. Поэтому общий поворот складывается из двух последовательных поворотов: угол становится α + β. Центр не перемещается, ведь ни одна из операций не меняет его положения. Так, поворот на 35° и затем на 70° вокруг O равносилен повороту на 105° вокруг O.
Если центры различны, общий центр обычно не сохраняется: первая операция перемещает точки относительно одного центра, а вторая — относительно другого. Однако каждое вращение сохраняет расстояния и ориентацию, а их композиция обладает теми же свойствами. На плоскости такое движение, сохраняющее ориентацию, оказывается вращением либо параллельным переносом. Значит, результат не становится произвольным сложным преобразованием, хотя его центр может отличаться от обоих исходных.
Почему при ненулевой сумме получается именно вращение? Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, либо оставляет неподвижную точку и тогда является вращением, либо не имеет неподвижной точки и является переносом. У переноса направление всех перемещений одинаково, поэтому его поворотная составляющая равна нулю. Если α + β не равно нулю по модулю 2π, композиция не может быть таким переносом и имеет неподвижную точку — центр результирующего вращения.
Если α + β = 0 по модулю 2π, поворотные части взаимно компенсируются. При разных центрах точки в общем случае всё же смещаются: первая операция переносит их относительно одного центра, а вторая возвращает направление, но не исходное положение. Все точки смещаются на один и тот же вектор, поэтому получается параллельный перенос. Если же центры совпали, перемещения полностью сокращаются и каждая точка остаётся на месте.
Центр итогового вращения можно искать по перемещению точки: пусть A перешла в A′, а результирующий угол равен θ. Центр O должен удовлетворять OA = OA′, поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к AA′; кроме того, ориентированный угол между OA и OA′ должен быть θ. Чтобы проверить построение и выбрать нужное положение, рассматривают также образ второй точки. Пересечение подходящих геометрических условий определяет центр, если итог не является тождественным преобразованием.
| Условие | Суммарный угол | Итоговое преобразование | Что происходит с центром |
|---|---|---|---|
| Центры совпадают | Любой | Вращение; при нулевой сумме — тождественное преобразование | Сохраняется общий центр |
| Центры различны, суммарный угол не равен нулю по модулю 2π | θ ≠ 0 | Вращение | Возникает новый центр, обычно отличный от исходных |
| Центры различны, суммарный угол равен нулю по модулю 2π | θ = 0 | Параллельный перенос | Центра вращения нет |
| Углы вращений противоположны | α + β = 0 | При разных центрах — перенос; при общем — тождественное преобразование | Зависит от того, совпадают ли центры |
| Порядок выполнения двух вращений | Сумма углов не меняется | При разных центрах результат обычно меняется | Центр или вектор переноса может измениться |
Сначала сравните центры, затем сложите углы с учётом знаков и проверьте сумму по модулю 2π. Для противоположных углов важно отдельно выяснить, совпадают ли центры: от этого зависит, получится перенос или неподвижное преобразование. Если центры различны, не делайте вывод о центре результата только по исходным центрам.
Даны два вращения вокруг O с углами 35° и 70°. Нужно описать их композицию и найти её угол. Оба угла положительные, значит, оба поворота идут в одном направлении. Поскольку центр один, можно сразу сложить ориентированные углы.
Ответ: композиция — вращение вокруг O на 105° в положительном направлении. Проверка проста: оба поворота направлены одинаково, поэтому угол результата должен быть больше каждого из них.
Центры вращений различны, а углы равны 90° и 90°. Суммарный угол равен 180°, то есть не равен нулю по модулю 360°. Поэтому результат является вращением, но его центр нельзя автоматически принять за один из двух заданных. Для построения центра используем образ точки при всей композиции и заданный итоговый угол.
Ответ: композиция — вращение на 180° вокруг построенного центра C. Численные координаты центров не заданы, поэтому центр определяется геометрически по точкам и их образам.
Вращения происходят вокруг различных центров O₁ и O₂. Их углы противоположны, поэтому суммарный угол равен нулю. Композиция не поворачивает фигуру в целом, но при разных центрах может переместить её; значит, нужно показать, что смещение одинаково для всех точек, и найти его по заданной точке.
Ответ: композиция — параллельный перенос на вектор AA₂, где A₂ получена после обоих вращений. Без конкретных положений центров и точки A численное значение вектора найти нельзя.
Считать, что центр результата всегда совпадает с исходными центрами. Это верно только при общем центре; при разных центрах итоговое вращение обычно имеет третью точку в качестве центра. Проверьте свой вывод, построив образ точки: центр должен быть равноудалён от неё и её образа.
Складывать модули углов, не учитывая направление. Так противоположные повороты ошибочно превращаются в ненулевой угол. Перед сложением запишите знаки, а затем проверьте, не дают ли углы в сумме ноль по модулю 2π.
Считать, что порядок вращений не важен. При разных центрах первая операция меняет положение точек, к которым применяется вторая, поэтому перестановка может изменить результат. Для проверки проследите образ одной точки при обоих порядках; если образы различаются, композиции различны.
Называть результат вращением, когда суммарный угол равен нулю. При разных центрах в этом случае возникает перенос, а при общем центре — тождественное преобразование. Проверьте сначала сумму углов, а затем сравните центры и выясните, перемещаются ли точки.
Для изучения композиции нужны понятия движения, вращения, параллельного переноса и ориентированного угла. Тема также опирается на композицию преобразований: образ после первого действия становится исходной точкой для следующего. Построение образов циркулем и линейкой помогает находить центр или вектор итогового преобразования. Эти приёмы пригодятся при изучении симметрий, движений плоскости, геометрических построений и преобразований фигур.
Почему композиция двух вращений с одним центром снова является вращением?
Обе операции поворачивают каждую точку вокруг одного и того же центра. Поэтому последовательные повороты складываются в один поворот на сумму ориентированных углов.
Может ли композиция двух вращений быть параллельным переносом?
Да. Если центры различны, а сумма углов равна нулю по модулю 2π, результатом будет параллельный перенос. При совпадающих центрах в этом случае получается тождественное преобразование.
Как найти центр результирующего вращения?
Найдите образ точки A при композиции — точку A′. Центр должен быть равноудалён от A и A′, а угол между лучами к ним должен совпадать с суммарным углом; для уточнения используйте образ второй точки.
Имеет ли значение порядок выполнения двух вращений?
Да, если центры различны: перестановка вращений обычно меняет результирующее преобразование или положение его центра. При общем центре повороты можно выполнять в любом порядке, поскольку складываются одни и те же углы.
Что происходит, если углы вращений противоположны?
Их алгебраическая сумма равна нулю. При разных центрах композиция становится параллельным переносом, а при одном центре — тождественным преобразованием.
9.7. Композиция двух вращений
