1.3. Теорема синусов

Определения и обозначения

В треугольнике вершины обозначают A, B и C, а стороны, лежащие напротив них, — соответственно a, b и c. Значит, сторона a находится напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C. Такое соответствие нужно сохранять при подстановке в формулы: сторона не сопоставляется с углом, который находится рядом с ней.

Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Синус угла — число, которое можно найти по таблице или на калькуляторе; в задачах на треугольники углы обычно измеряют в градусах. Формула позволяет перейти от известной пары «сторона и угол» к другой стороне или углу.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. У любого треугольника такая окружность есть, и она единственная. Это определение понадобится, чтобы объяснить происхождение теоремы синусов через длину стороны как хорды окружности.

Радиус описанной окружности R — расстояние от центра этой окружности до любой вершины треугольника. В расширенной теореме синусов общее значение отношений сторон к синусам противолежащих углов равно 2R. Эта запись пригодится, если в задаче нужно найти радиус окружности или сторону по радиусу.

Как это устроено

Чтобы провести окружность через три вершины, сначала строят серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника: это прямые, проходящие через середины сторон под прямым углом. Точка пересечения этих прямых равноудалена от концов каждой из выбранных сторон, поэтому расстояния от неё до всех трёх вершин одинаковы. Эту точку берут за центр окружности, а расстояние до любой вершины — за радиус. Поэтому все вершины лежат на одной окружности.

Любая сторона треугольника соединяет две точки описанной окружности, а такой отрезок называется хордой. Длина хорды, стягивающей центральный угол величины 2φ, равна 2R sin φ: если провести радиусы к концам хорды, получится равнобедренный треугольник, который можно разделить пополам. В каждом из двух прямоугольных треугольников половина хорды равна R sin φ, откуда и получается формула длины.

Для стороны a соответствующий центральный угол опирается на хорду BC. Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, — это угол A, и он равен половине центрального угла. Значит, если центральный угол равен 2A, половина хорды BC равна R sin A. Это связывает длину стороны a с синусом противолежащего угла A.

Так как сторона a вдвое больше своей половины, получаем a = 2R sin A, а значит, a/sin A = 2R. Точно так же для двух других сторон: b = 2R sin B и c = 2R sin C. Поэтому отношения a/sin A, b/sin B и c/sin C равны между собой, а их общее значение — диаметр описанной окружности.

Расширенная запись теоремы имеет вид a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Если известны сторона и её противолежащий угол, можно найти радиус: R = a/(2 sin A). Если известны радиус и угол, сторона находится по формуле a = 2R sin A; для нахождения неизвестной стороны или угла можно также приравнять отношения двух пар. После вычисления угла следует проверить, не подходит ли второй угол с таким же синусом.

Величины и формулы теоремы синусов

В таблице каждая сторона стоит рядом с синусом угла, лежащего напротив неё. Выбирай строку, в которой есть нужные данные и искомая величина, а затем вырази неизвестное из равенства. Если в условии дана другая сторона, можно воспользоваться соответствующей парой или общей записью теоремы.

Разбор задач

Задача 1. Выразить сторону b

В треугольнике ABC известны угол A и сторона a. Нужно выразить сторону b через a, A и угол B. Сторона b лежит напротив угла B, поэтому для неё нужна именно эта пара. Удобно приравнять отношения для сторон a и b.

1. По теореме синусов запишем a/sin A = b/sin B.
2. Умножим обе части равенства на sin B: b = a sin B/sin A.
3. Если известны числовые значения, подставим их и вычислим синусы в одном и том же режиме калькулятора — в градусах.

Ответ: b = a sin B/sin A. Сторона b пропорциональна синусу противолежащего ей угла B. При вычислении нужно убедиться, что sin A не равен нулю; у внутреннего угла треугольника он положителен.

Задача 2. Найти сторону b и угол C

В треугольнике ABC даны a, A и B. Сначала требуется найти b, а затем определить возможное значение C. Данные уже содержат две пары «сторона — противолежащий угол», поэтому для стороны можно сразу применить теорему синусов. Угол C найдём по сумме углов треугольника.

1. Запишем a/sin A = b/sin B и выразим сторону: b = a sin B/sin A.
2. Используем равенство A + B + C = 180°: C = 180° − A − B.
3. Проверим, что C больше 0° и меньше 180°. Если условие не выполняется, треугольника с такими углами не существует.

Ответ: b = a sin B/sin A, C = 180° − A − B. В этой задаче угол C определяется однозначно, поскольку известны оба других угла. Два варианта могут появиться в другой ситуации — когда по теореме синусов сначала находят только синус неизвестного угла.

Задача 3. Определить возможные углы и число треугольников

Известны две стороны и угол, лежащий напротив одной из них; нужно найти возможные значения второго угла и понять, сколько треугольников удовлетворяют условию. Обозначим известные стороны a и b, а известный угол A — противолежащим стороне a. Поскольку конкретных чисел нет, решение запишем в общем виде.

1. По теореме синусов для угла B получаем sin B = b sin A/a.
2. Пусть найденное значение равно x. Если 0 < x < 1, возможны B₁ = arcsin x и B₂ = 180° − arcsin x. Если x > 1, подходящего угла нет; при x = 1 возможен только угол 90°.
3. Для каждого кандидата проверим угол C = 180° − A − B. Оставляем только варианты, для которых C > 0°; каждый оставшийся угол задаёт возможный треугольник.

Ответ: число треугольников определяется проверкой кандидатов B₁ и B₂. Если оба дают положительный угол C, подходят два треугольника; если только один — один; если ни один — ни одного. Так теорема синусов помогает не только найти угол, но и проверить, сколько решений допускает условие.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сопоставить сторону с соседним углом вместо противолежащего. Так бывает, когда ученик ориентируется на то, какие элементы видны рядом в записи, а не на их положение в треугольнике. Перед вычислением подпиши пары a и A, b и B, c и C; затем проверь, что каждая сторона действительно лежит напротив своего угла.

Вторая ошибка — записать отношения в несогласованном порядке, например поставить в числитель одну сторону, а в знаменатель — синус другого угла. Внешне такая дробь может напоминать теорему синусов, но она связывает неверные величины. Сверь каждую дробь с парой «сторона — противолежащий угол» и сравни обе части равенства в одном порядке.

Третья ошибка — считать, что значение синуса задаёт только один угол. Этому способствует привычка сразу нажать кнопку arcsin на калькуляторе: она показывает лишь одно значение. Проверь также угол 180° − α и для каждого кандидата вычисли третий угол; если сумма уже превышает 180°, такой вариант невозможен.

Четвёртая ошибка — принять общее значение расширенной формулы за радиус R, хотя это диаметр 2R. Путаница возникает потому, что в формуле рядом упоминается радиус описанной окружности. Проверь запись a/sin A = 2R и при необходимости раздели найденное общее отношение на 2, чтобы получить R.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой синусов нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, уметь находить синус угла и понимать, что такое вписанный угол. Эти знания объясняют и вычисления, и связь теоремы с окружностью: вписанный и соответствующий ему центральный углы опираются на одну хорду. Полученные формулы применяют при решении треугольников, нахождении радиуса описанной окружности и задач на стороны и углы.

Что запомнить

• Каждой стороне соответствует противолежащий угол: a — A, b — B, c — C.
• a/sin A = b/sin B = c/sin C.
• Общее значение отношений равно диаметру описанной окружности: 2R.
• Применяй теорему синусов, когда известны подходящие пары сторон и противолежащих углов.
• Если найден синус угла, проверь, подходит ли также дополнительный угол.
• Сумма углов треугольника равна 180°.