"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Решить треугольник — значит найти все его стороны и углы по нескольким известным элементам. Для этого используют теорему синусов, которая связывает стороны с противолежащими углами, и теорему косинусов, связывающую стороны с углом между ними. Выбор формулы зависит от исходных данных: иногда ответ единственный, а при некоторых сочетаниях сторон и углов возможны два треугольника. Найденные значения проверяют по сумме углов и неравенству треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
«Решить треугольник» — значит найти все его неизвестные стороны и углы по заданным данным. Например, если известны две стороны и угол, требуется определить оставшуюся сторону и два угла. Это нужно, чтобы по части сведений восстановить всю фигуру и проверить, существует ли такой треугольник.
Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Здесь sin A — синус угла A, а пропорция означает равенство всех трёх отношений. Она позволяет найти сторону или угол, если известна хотя бы одна пара «сторона и угол напротив неё».
Теорема косинусов говорит: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Например, a² = b² + c² − 2bc cos A. Формула помогает найти сторону по двум другим и углу между ними либо угол, если известны все три стороны.
В обозначениях a, b, c — стороны, лежащие напротив углов A, B, C соответственно. Следовательно, сторона a не прилегает к углу A, а расположена напротив него; то же верно для остальных пар. Сохраняй эти соответствия при подстановке в формулы, иначе вычисление будет относиться к другой стороне или углу.
У треугольника шесть элементов: три стороны и три угла, но для решения обычно достаточно найти три неизвестных элемента. Причина в том, что сумма углов любого треугольника равна 180°: как только известны два угла, третий определяется вычитанием из 180°. А если найдены все стороны, углы можно вычислить, например, по теореме косинусов.
Теорема косинусов похожа на теорему Пифагора, потому что связывает квадраты трёх сторон. Если угол A прямой, cos A = 0, поэтому член 2bc cos A исчезает и остаётся a² = b² + c². Значит, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольного треугольника.
Из теоремы синусов неизвестную сторону можно выразить, например, так: a = b · sin A / sin B. Чтобы найти угол, используют равенство sin A = a · sin B / b, а затем подбирают угол с таким синусом. В каждом отношении нужно сопоставлять противолежащие элементы: иначе получится неверная пропорция, даже если числа подставлены без арифметической ошибки.
Выбор способа зависит от известных данных. Если даны три стороны или две стороны и угол между ними, теорема косинусов сразу связывает нужные величины; при трёх сторонах с её помощью сначала находят угол. Теорема синусов особенно удобна, когда известны сторона и противолежащий угол: их отношение задаёт общий коэффициент для остальных пар.
После вычислений проверяют, что стороны могут образовать треугольник: сумма любых двух должна быть больше третьей. Углы должны быть положительными, а их сумма — равняться 180°; найденный синус также не может быть больше 1 или меньше −1. Такие проверки помогают обнаружить неверную подстановку, округление или невозможность исходных данных.
| Что известно | Основной способ | Что находить сначала | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Три стороны | Теорема косинусов | Один из углов | Неравенство треугольника |
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов | Третью сторону | Полученные углы и их сумму |
| Сторона, противолежащий ей угол и ещё один угол или сторона | Теорема синусов | Неизвестную сторону или угол | Сумму углов треугольника |
| Две стороны и угол, не лежащий между ними | Теорема синусов с проверкой возможных вариантов | Угол, противолежащий известной стороне | Допустимость найденных значений угла |
Сначала найди в таблице строку, соответствующую данным задачи, и выбери указанную формулу. Затем вычисляй элементы в рекомендованном порядке, не забывая сопоставлять противоположные стороны и углы. В последнем столбце указана проверка, которую нельзя пропускать.
Дано: a = 5, b = 6, c = 7. Требуется найти все углы. Сначала найдём угол A, расположенный напротив стороны a, а затем воспользуемся теоремой косинусов для оставшихся углов.
Ответ: A ≈ 44,4°, B ≈ 57,1°, C ≈ 78,5°. Наибольшей стороне 7 соответствует наибольший угол C, что согласуется с расположением сторон и углов.
Дано: b = 8, c = 6, A = 60°; угол A заключён между известными сторонами. Искомая сторона a лежит напротив него, поэтому сначала применим теорему косинусов. После этого найдём углы и сверим их сумму.
Ответ: a = 2√13 ≈ 7,21, B ≈ 73,9°, C ≈ 46,1°. Подстановка известного угла в теорему косинусов была возможна именно потому, что A находится между сторонами b и c.
Дано: a = 7, A = 30°, b = 9. Угол A не заключён между известными сторонами, поэтому сначала ищем B по теореме синусов. Поскольку один и тот же синус может соответствовать острому и тупому углам, нужно проверить оба варианта.
Ответ: два треугольника; их углы приблизительно равны (30°, 40°, 110°) и (30°, 140°, 10°), а третьи стороны — 13,2 и 2,4. Округления здесь приблизительные, поэтому при вычислениях лучше сохранять больше знаков до последнего шага.
В теореме синусов иногда сопоставляют сторону не с тем углом: например, подставляют a/sin B вместо a/sin A. Это происходит, когда обозначения сторон и углов не отмечены на схеме. Перед вычислением подпиши пары a и A, b и B, c и C и проверь, что каждая сторона лежит напротив своего угла.
В теореме косинусов можно подставить не тот угол, забыв, что используется угол между известными сторонами. Ошибка возникает из-за того, что формулу запоминают как набор букв, не связывая их с расположением элементов. Проверь, какие две стороны стоят в произведении перед cos: искомая сторона должна быть противоположна углу из этой формулы.
По двум сторонам и углу вне них не всегда получается единственный треугольник. Часто берут только острый угол, найденный по синусу, хотя ему может соответствовать и тупой угол. Рассмотри оба варианта и оставь те, где третий угол положителен, а сумма углов составляет 180°.
Ещё одна ошибка — преждевременно округлять промежуточные числа или принимать sin B > 1 за допустимое значение. Так можно получить заметно неточный ответ или придумать несуществующий угол. Сохраняй несколько знаков в промежуточных вычислениях и помни: синус реального угла не выходит за пределы от −1 до 1.
Для решения треугольников нужны сумма его углов, теорема Пифагора и определения синуса и косинуса. Эти знания помогают понять формулы и проверять результаты. Теорема косинусов связана с теоремой Пифагора и пригодна для нахождения расстояний и углов, когда прямоугольного треугольника нет.
Теоремы синусов и косинусов продолжают использовать в тригонометрии и геометрических задачах на вычисление. Например, с их помощью находят неизвестные расстояния, если измерить напрямую их нельзя. Умение выбирать формулу по исходным данным делает такие вычисления понятнее и надёжнее.
Что значит решить треугольник?
Это значит найти все неизвестные стороны и углы треугольника по тем данным, которые уже известны. Для вычислений применяют теоремы синусов и косинусов.
Как понять, какую теорему применять — синусов или косинусов?
Теорема косинусов удобна, если известны три стороны или две стороны и угол между ними. Теорема синусов подходит, когда известны сторона и противолежащий ей угол, а также ещё один элемент.
Почему в теореме синусов сторона делится на синус противолежащего угла?
В любом треугольнике отношения стороны к синусу угла напротив неё равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Поэтому для вычисления неизвестной стороны или угла нужно составить равенство, сохранив пары «сторона — противоположный угол».
Может ли по одним и тем же данным получиться два треугольника?
Да, если заданы две стороны и угол, который не заключён между ними, возможны два треугольника. Это зависит от того, какие углы имеют найденный синус и остаётся ли после их выбора положительный третий угол.
Как проверить, правильно ли найден неизвестный угол?
Убедись, что угол больше 0° и меньше 180°, а его синус не превышает 1. Затем проверь, что сумма всех углов равна 180° и что сторонам соответствуют противоположные углы.
1.4. Решение треугольников
