"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Тригонометрия помогает находить площадь фигуры, когда известны две стороны и угол между ними, но высота не дана. Основная формула для треугольника — S = ½ab sin γ: она связывает площадь с длинами сторон и синусом угла. Для параллелограмма соответствующая формула — S = ab sin α. Эти способы особенно полезны в задачах, где высоту неудобно измерить или вычислить напрямую.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается внутри неё. Площадь треугольника с основанием a и высотой h вычисляют по формуле S = ½ah. Высотой называют перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону; это поясняет, почему для площади важна не вся длина наклонной стороны, а её перпендикулярная составляющая.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Если сторона b образует угол γ с основанием, а высота опущена к этому основанию, то sin γ = h/b, откуда h = b sin γ. Это обозначение позволяет заменить неизвестную высоту известными стороной и углом.
Формула S = ½ab sin γ выражает площадь треугольника через стороны a и b и угол γ между ними. Буквы a и b обозначают длины сторон, а γ — именно заключённый между ними угол. Формула нужна, когда основание и высоту нельзя сразу взять из условия, но известны две стороны и угол.
Площадь параллелограмма, образованного сторонами a и b с углом α между ними, равна S = ab sin α. Здесь α — внутренний угол между соседними сторонами. Формула удобна тем, что позволяет вычислить площадь без отдельного построения и измерения высоты.
Начнём с обычной формулы площади треугольника: S = ½ah. Чтобы применить её, выберем за основание сторону a. Если другая сторона b наклонена к основанию под углом γ, высота h вместе с частью основания и стороной b образует прямоугольный треугольник. В нём h лежит напротив угла γ, а b является гипотенузой, поэтому sin γ = h/b.
Из равенства sin γ = h/b получаем h = b sin γ. Подставляем эту высоту в формулу площади: S = ½a · b sin γ, то есть S = ½ab sin γ. Множитель sin γ показывает, какая доля стороны b приходится на высоту. Если угол острый и становится больше, высота при той же стороне увеличивается, а вместе с ней увеличивается и площадь.
Для параллелограмма рассуждение похоже, но в формуле его площади нет множителя ½: S = ah. Высота к стороне a снова равна b sin α, потому что сторона b и высота образуют прямоугольный треугольник с углом α. Поэтому после подстановки получается S = ab sin α. Параллелограмм можно также разделить диагональю на два равных треугольника, каждый площадью ½ab sin α, что даёт тот же результат.
Формулы работают и при тупом угле между сторонами. Высота тогда может опуститься на продолжение основания, однако её длина остаётся положительной, а sin α для угла от 0° до 180° тоже положителен. Например, sin 150° = sin 30° = ½, поэтому тупой угол не делает площадь отрицательной. Угол в формуле должен быть заключён между выбранными сторонами: другой угол треугольника подставлять без проверки нельзя.
Если известна сторона ромба a и его угол α, ромб можно считать параллелограммом с двумя равными сторонами. Подстановка b = a в формулу параллелограмма даёт S = a² sin α. Эта формула полезна, когда диагонали не заданы, но известны сторона и угол. Во всех случаях результат получается в квадратных единицах: например, при сторонах в сантиметрах площадь выражается в квадратных сантиметрах.
| Фигура | Что известно | Формула площади |
|---|---|---|
| Треугольник | Стороны a и b, угол γ между ними | S = ½ab sin γ |
| Параллелограмм | Соседние стороны a и b, угол α между ними | S = ab sin α |
| Ромб | Сторона a и угол α | S = a² sin α |
Сначала найди в условии фигуру и проверь, какие стороны и какой угол даны. Затем выбери строку таблицы и убедись, что угол расположен между указанными сторонами. После подстановки проверь единицы площади и то, что значение синуса не приводит к отрицательному результату.
Условие. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен 30°. В задаче известны именно две стороны и заключённый между ними угол, поэтому можно применить формулу S = ½ab sin γ. Высоту отдельно искать не требуется: её влияние уже учитывает синус.
Запишем данные: a = 8 см, b = 10 см, γ = 30°. Проверяем, что угол 30° находится между сторонами 8 см и 10 см; иначе подстановка была бы неверной. Для вычислений нужен sin 30° = ½.
Подставим данные в формулу площади треугольника: S = ½ · 8 · 10 · sin 30°. Сначала перемножим известные длины с половиной: ½ · 8 · 10 = 40. Тогда S = 40 · ½ = 20.
Проверим размерность: перемножались две длины, поэтому получились квадратные сантиметры. Значение положительное, как и должно быть у площади. Также при угле 30° высота меньше стороны 10 см, что согласуется с результатом: h = 10 · ½ = 5 см, а ½ · 8 · 5 = 20 см².
Ответ: 20 см². Здесь можно проверить решение и через основание 8 см и высоту 5 см: обычная формула S = ½ah приводит к тому же результату. Такая проверка помогает заметить ошибку, если при подстановке перепутаны угол или множитель ½.
Подставляют в формулу угол, который не заключён между данными сторонами. Это происходит, когда в условии названы несколько углов и ученик выбирает знакомый, не проверяя его положение. Отметь на чертеже две известные стороны и найди вершину, в которой они встречаются: угол формулы находится именно там.
Забывают множитель ½ в формуле площади треугольника или, наоборот, добавляют его для параллелограмма. Ошибка возникает из-за того, что обе формулы содержат стороны и синус. Сверь фигуру с определением: треугольник занимает половину параллелограмма с теми же основанием и высотой, а площадь параллелограмма равна ah.
Считают, что при тупом угле площадь должна быть отрицательной. Это связано с тем, что угол больше 90°, но синус углов от 0° до 180° положителен. Проверь знак значения синуса и помни: площадь не бывает отрицательной; например, sin 150° = ½.
Записывают ответ в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Так бывает, если забывают, что в формуле перемножаются две длины. Проверь единицы отдельно: см · см = см², а м · м = м².
Формулы площадей опираются на определения синуса и высоты в прямоугольном треугольнике: связь h = b sin γ превращает угол и сторону в высоту. Они также продолжают изучение площадей, где уже используются формулы S = ½ah для треугольника и S = ah для параллелограмма. Позже тригонометрические соотношения помогают находить неизвестные элементы фигур, а знание площадей позволяет решать геометрические задачи без прямого измерения высоты.
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S = ½ab sin γ.
Площадь параллелограмма по соседним сторонам и углу между ними: S = ab sin α.
Площадь ромба со стороной a и углом α: S = a² sin α.
Для формулы нужен угол именно между известными сторонами; площадь выражается в квадратных единицах.
1.5. Применение тригонометрических функций к вычислению площадей
