"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Касание круглых тел — это соприкосновение их границ без пересечения в области касания. Для сферы важно, где проходит касательная плоскость, а для двух сфер — на каком расстоянии находятся их центры. Эти условия позволяют определить взаимное положение тел без чертежа: расстояние от центра сферы до плоскости сравнивают с радиусом, а расстояние между центрами сфер — с суммой или разностью радиусов. Такой подход помогает решать задачи о сечениях, а также о вписанных и описанных сферах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касание круглых тел — соприкосновение их границ в одной или нескольких точках без наложения границ друг на друга. Для сфер при касании речь идёт об одной общей точке, а их внутренние области не перекрываются при внешнем касании. Это понятие помогает отличить простое соприкосновение от пересечения тел.
Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Определение позволяет проверить, касается ли плоскость сферы, и найти положение радиуса в точке соприкосновения.
Внешнее касание сфер происходит, когда сферы расположены снаружи друг друга и соприкасаются в одной точке. В точке касания одна сфера не оказывается внутри другой. Это положение удобно распознавать по расстоянию между центрами и сумме радиусов.
Внутреннее касание сфер — случай, когда одна сфера расположена внутри другой и их поверхности имеют одну общую точку. Радиусы сфер при этом неодинаковы, если сферы не совпадают. Определение нужно, чтобы не перепутать внутреннее касание с внешним.
Радиус, соединяющий центр сферы с точкой касания плоскости, перпендикулярен этой плоскости. Из центра можно опустить к плоскости перпендикуляр, который является кратчайшим отрезком от точки до плоскости. Если радиус до точки касания был бы наклонным, его длина оказалась бы больше этого перпендикуляра, хотя оба отрезка должны равняться радиусу сферы. Значит, радиус совпадает с перпендикуляром.
Отсюда получается критерий касания сферы и плоскости: расстояние от центра сферы до плоскости должно равняться радиусу. Если расстояние меньше радиуса, в плоскости есть точки внутри сферы, поэтому поверхность пересекает плоскость по окружности. Если расстояние больше радиуса, до плоскости не достаёт даже радиус, и общих точек нет.
При касании двух сфер их центры и точка касания лежат на одной прямой. В точке касания у обеих сфер есть касательная плоскость, а каждый радиус к этой точке перпендикулярен ей. Два перпендикуляра к одной плоскости, проведённые через одну точку, лежат на одной прямой, поэтому оба центра находятся на прямой через точку касания.
При внешнем касании отрезок между центрами проходит через точку касания и складывается из двух радиусов. Поэтому для радиусов R₁ и R₂ расстояние d между центрами равно R₁ + R₂. При внутреннем касании центры и точка касания также лежат на одной прямой, но радиусы направлены в одну сторону; расстояние между центрами равно большей длине радиуса за вычетом меньшей, то есть |R₁ − R₂|.
Задачу о касании сферы с цилиндром или конусом сводят к измерению расстояния от центра сферы до поверхности. Для касания оно должно равняться радиусу сферы, если речь идёт о ближайшей точке поверхности. У цилиндра рассматривают боковую поверхность или основание — в зависимости от условия, а у конуса учитывают боковую поверхность либо основание. Если требуется касание конкретной части, проверяют расстояние именно до неё, иначе можно получить лишний вариант.
| Случай | Геометрическое условие | Соотношение расстояний и радиусов | Число общих точек |
|---|---|---|---|
| Сфера и плоскость | Плоскость касается сферы | d = R, где d — расстояние от центра до плоскости | 1 |
| Внешнее касание двух сфер | Сферы снаружи друг друга | d = R₁ + R₂ | 1 |
| Внутреннее касание двух сфер | Одна сфера внутри другой | d = |R₁ − R₂| | 1 |
| Сферы не касаются | Расстояние между центрами не равно сумме или модулю разности радиусов | d ≠ R₁ + R₂ и d ≠ |R₁ − R₂| | 0 или больше 1 |
Сначала определите, какие объекты рассматриваются, затем найдите нужное расстояние и сравните его с радиусом или выражением для двух радиусов. Равенство означает касание, но для внутреннего случая дополнительно проверьте, что меньшая сфера действительно расположена внутри большей. Если равенства нет, сферы могут быть раздельными, одна может находиться внутри другой без касания или поверхности могут пересекаться.
Радиус сферы равен 5 см. Расстояние от её центра до плоскости равно 5 см. Определите взаимное положение сферы и плоскости. Сравним данные величины, потому что касание определяется именно кратчайшим расстоянием от центра до плоскости.
Ответ: плоскость касается сферы в одной точке.
Радиусы двух сфер равны 3 см и 7 см. Расстояние между центрами равно 10 см. Определите, касаются ли сферы и как именно. Чтобы выбрать вид касания, проверим условие внешнего касания — равенство расстояния сумме радиусов.
Ответ: сферы касаются внешним образом.
Радиусы двух сфер равны 9 см и 4 см. Расстояние между центрами равно 5 см. Найдите расстояние между центрами, при котором сферы касаются, и определите вид касания. Проверим разность радиусов, так как внутреннее касание возможно, если меньшая сфера находится внутри большей.
Ответ: расстояние между центрами при касании равно 5 см; это внутреннее касание.
Касанием иногда называют любое пересечение поверхностей. Но при касании двух сфер должна быть ровно одна общая точка, а при пересечении обычно образуется окружность. Ошибка возникает из-за того, что оба случая на рисунке выглядят как соприкосновение. Проверьте условие: при касании расстояние между центрами равно сумме или модулю разности радиусов.
Внешнее и внутреннее касание легко перепутать, если не представить расположение сфер. Для внешнего случая расстояние между центрами равно сумме радиусов, для внутреннего — модулю их разности. Чтобы проверить выбор, мысленно расположите сферы: снаружи друг друга или одна внутри другой.
Сравнивать радиус с расстоянием до плоскости, измеренным по наклонному отрезку, нельзя. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра и не показывает кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Ошибка появляется, когда за расстояние принимают любой заметный отрезок на чертеже. Проверьте, что от центра к плоскости проведён именно перпендикуляр.
При внутреннем касании недостаточно записать равенство d = |R₁ − R₂| и не посмотреть на расположение сфер. Это равенство описывает касание, если меньшая сфера находится внутри большей; без проверки можно неверно представить взаимное положение тел. Убедитесь, что радиус внутренней сферы меньше, а центры лежат на прямой через точку касания.
Для работы с касанием нужно знать, что такое сфера и её радиус, понимать смысл перпендикуляра и уметь находить расстояние от точки до плоскости. Без кратчайшего расстояния нельзя применить критерий касания сферы и плоскости. Полученные условия используют в задачах о сечениях и взаимном расположении тел. Они также помогают строить вписанные и описанные сферы, когда требуется найти положение центра или радиус.
Как понять, касается ли сфера плоскости?
Найдите кратчайшее расстояние от центра сферы до плоскости и сравните его с радиусом. Если расстояние равно радиусу, плоскость касается сферы; если оно меньше, плоскость пересекает сферу по окружности, а если больше — общих точек нет.
Почему радиус в точку касания перпендикулярен плоскости?
Перпендикуляр из центра сферы к плоскости короче любого наклонного отрезка до неё. При касании расстояние от центра до плоскости равно радиусу, а радиус до точки касания не может быть длиннее этого кратчайшего отрезка. Поэтому радиус и перпендикуляр совпадают.
Как отличить внешнее касание сфер от внутреннего?
При внешнем касании сферы расположены снаружи друг друга, а расстояние между центрами равно сумме радиусов. При внутреннем касании одна сфера находится внутри другой, и расстояние между центрами равно модулю разности радиусов.
Что означает равенство расстояния между центрами сумме радиусов?
Оно означает, что сферы касаются внешним образом. На прямой, соединяющей центры, радиусы направлены к одной точке касания с противоположных сторон, поэтому расстояние между центрами складывается из обоих радиусов.
Могут ли две сферы касаться, если их радиусы равны?
Да, при внешнем касании расстояние между центрами равно удвоенному радиусу. При внутреннем касании равных сфер расстояние между центрами должно быть нулевым: тогда центры совпадают и сферы совпадают целиком, а не имеют ровно одну общую точку.
4.7. Касание круглых тел
