"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Стереометрия описывает фигуры в пространстве: точки, прямые, плоскости и их взаимное расположение. Чтобы решать задачи, нужно знать аксиомы, определения параллельности и перпендикулярности, а также признаки, которые позволяют обосновать вывод. Чертёж помогает представить фигуру, но доказательство строят по геометрическим правилам. Вспомним основные понятия и применим их к типичным задачам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, которая рассматривает фигуры на плоскости, она описывает взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в трёх измерениях. Это различие нужно учитывать: две прямые в пространстве не обязательно пересекаются или параллельны.
Аксиома стереометрии утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Аксиома — исходное утверждение, которое принимают без доказательства. Она помогает установить, когда заданные точки определяют плоскость и почему через них нельзя провести другую плоскость.
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек; две плоскости параллельны, если не пересекаются. Определения нужны, чтобы различать случаи взаимного расположения, а не делать вывод лишь по внешнему виду чертежа.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения прямой и плоскости. Точка пересечения здесь существенна: именно через неё проводят прямые, с которыми сравнивают данную прямую. Это определение задаёт строгий смысл перпендикулярности в пространстве.
Аксиомы связывают базовые объекты стереометрии и позволяют рассуждать о существовании фигур. Например, три неколлинеарные точки задают плоскость, а две точки определяют прямую, проходящую через них. Благодаря таким правилам можно переходить от заданных элементов к новым и обосновывать, что рассматриваемые плоскости или прямые существуют. Аксиомы служат опорой для дальнейших доказательств.
Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, обычно ищут в этой плоскости прямую, параллельную данной. Причина в том, что признак связывает параллельность двух прямых с параллельностью прямой и плоскости. Но одной параллельности недостаточно: нужно ещё убедиться, что рассматриваемая прямая не лежит в плоскости. Иначе речь идёт о прямой, принадлежащей плоскости, а не параллельной ей.
Определение перпендикулярности требует проверить связь с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Таких прямых бесконечно много, поэтому напрямую пользоваться определением неудобно. Признак перпендикулярности позволяет заменить эту проверку: достаточно установить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости, проходящим через нужную точку. Пересечение этих прямых важно, потому что вместе они задают направления в плоскости.
Рассуждение о взаимном расположении удобно строить по шагам: определить, какие объекты заданы, найти важные точки и прямые, затем выбрать подходящее определение или признак. После этого нужно проверить каждое его условие и только тогда сформулировать вывод. Такой порядок не даёт незаметно подменить доказательство предположением. Если условие признака выполнено не полностью, вывод делать нельзя.
Пространственную фигуру изображают на плоскости, поэтому часть линий на чертеже может выглядеть иначе, чем в действительности. Например, параллельные прямые могут быть нарисованы сходящимися, а прямой угол — казаться острым. Чертёж полезен как схема: на нём удобно отмечать известные точки, прямые и плоскости. Однако доказательство должно опираться на данные задачи, аксиомы, определения и признаки, а не на зрительное впечатление.
| Объекты | Возможное взаимное расположение | Признак или основание вывода |
|---|---|---|
| Две прямые в пространстве | Пересекаются; параллельны; скрещиваются | Определения пересечения и параллельности; если прямые не лежат в одной плоскости, они скрещиваются |
| Прямая и плоскость | Прямая лежит в плоскости; пересекает её в одной точке; параллельна ей | Определения; признак параллельности через прямую плоскости, параллельную данной |
| Две плоскости | Совпадают; пересекаются по прямой; параллельны | Аксиомы и определения; пересекающиеся плоскости имеют общую прямую |
| Перпендикулярность прямой и плоскости | Прямая перпендикулярна плоскости или не перпендикулярна ей | Признак: перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости через точку пересечения |
Сначала определите, какие именно объекты сравниваются, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Указанный признак используйте только после проверки всех его условий. Если условия не подходят, вернитесь к определениям и выясните, какой случай возможен.
Задача 1. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Важно не просто сосчитать точки, а проверить, что они действительно неколлинеарны: именно это условие требуется в аксиоме. Тогда можно применить утверждение о единственности плоскости.
Ответ: одна плоскость.
Задача 2. В плоскости α проведена прямая a, а прямая b параллельна a и не лежит в α. Как расположены b и α? Известно, что b параллельна прямой внутри плоскости, поэтому подходит признак параллельности прямой и плоскости. Условие о том, что b не лежит в α, исключает случай принадлежности плоскости.
Ответ: b ∥ α.
Задача 3. Прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости β, проходящим через точку пересечения l с β. Обоснуйте взаимное расположение l и β и укажите угол между l и прямой плоскости, проходящей через эту точку. Сначала используем признак для прямой и плоскости, а затем определение угла между перпендикулярными прямыми. Условие о точке пересечения гарантирует, что признак применён именно там, где это требуется.
Ответ: l ⟂ β; угол между l и указанной прямой равен 90°.
Считать, что любые две прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны, — значит забывать о скрещивающихся прямых. Так происходит, если переносить на пространство привычные свойства плоскости без проверки. Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости: если нет, они скрещиваются. Сам факт, что на чертеже линии не пересеклись, ещё не показывает, что они скрещиваются.
Вывод о параллельности прямой и плоскости нельзя делать только потому, что линии на рисунке выглядят параллельными. На плоском изображении пространственные отношения могут быть искажены. Назовите прямую плоскости, параллельную данной, и проверьте, что данная прямая не лежит в этой плоскости. Если хотя бы одно условие не установлено, доказательство не завершено.
Перпендикулярность прямой одной прямой плоскости не означает перпендикулярность всей плоскости. Ошибка возникает из-за того, что в стереометрии мысленно заменяют плоскость одним её направлением. Для проверки себя найдите две пересекающиеся прямые плоскости через точку пересечения и установите перпендикулярность к обеим. Только тогда применяйте признак.
Прямая, параллельная плоскости, не лежит в ней, хотя может быть параллельна прямой, которая в плоскости находится. Эти случаи путают, потому что на рисунке прямая может казаться частью плоскости. Уточните, есть ли у прямой общие точки с плоскостью и принадлежит ли она ей. Сверьтесь с определением: параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек.
Для изучения пространственных отношений полезно вспомнить аксиомы планиметрии, свойства параллельных и перпендикулярных прямых, а также понятие угла. Эти знания помогают понять, какие элементы задают плоскость и как проверять геометрические условия. В стереометрии знакомые понятия применяются к фигурам, которые могут не помещаться в одной плоскости.
Умение определять взаимное расположение прямых и плоскостей понадобится при изучении расстояний и углов в пространстве, а также многогранников. На нём строится решение многих стереометрических задач: сначала устанавливают нужную связь, затем применяют её для дальнейших выводов. Поэтому аксиомы, определения и признаки становятся основой более сложных рассуждений.
Чем стереометрия отличается от планиметрии?
Планиметрия изучает фигуры на плоскости, а стереометрия — фигуры в пространстве. В стереометрии рассматривают, например, взаимное расположение прямых и плоскостей.
Могут ли две прямые в пространстве не пересекаться и не быть параллельными?
Да, такие прямые называются скрещивающимися. Они не лежат в одной плоскости, поэтому не пересекаются, но и не имеют общего направления.
Как доказать, что прямая параллельна плоскости?
Достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной прямой, и проверить, что данная прямая не лежит в плоскости. Тогда по признаку параллельности прямая параллельна плоскости.
Достаточно ли одной перпендикулярной прямой, чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости?
Нет. Перпендикулярность одной прямой плоскости не гарантирует: нужно применить признак и доказать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Почему нельзя обосновывать геометрический вывод только рисунком?
Пространственный чертёж обычно изображают на плоскости, поэтому некоторые углы и расстояния на нём искажены. Рисунок помогает увидеть возможные связи, но вывод нужно доказать по определениям, аксиомам и признакам.
Проверьте свои знания
