"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Скалярное произведение превращает сведения о векторах в число, с помощью которого можно находить углы, проверять перпендикулярность и вычислять длины. Его находят двумя способами: по длинам векторов и углу между ними или по координатам. Выбор способа зависит от условия задачи. Главное — правильно задать направления векторов и использовать нужную формулу: например, для перпендикулярных ненулевых векторов произведение равно нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скалярное произведение векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a·b = |a||b| cos φ. Здесь a и b — векторы, φ — угол между их направлениями, а |a| и |b| — длины. Точкой между обозначениями показывают, что результатом будет число, а не вектор. Эта формула нужна, чтобы связать измеряемый угол с вычислениями.
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a·b = 0. Причина в том, что косинус прямого угла равен нулю, а длины ненулевых векторов положительны. Поэтому условие помогает доказать перпендикулярность вычислением или составить уравнение для поиска неизвестной величины. Нулевой вектор не задаёт направления, поэтому его не рассматривают как перпендикулярный другому.
Косинус угла между ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин: cos φ = (a·b)/(|a||b|). Найдя это отношение, можно определить угол по известным значениям косинуса или с помощью калькулятора. Деление на длины необходимо, потому что само скалярное произведение зависит не только от угла, но и от размеров векторов. Значение косинуса лежит от −1 до 1.
Проекция вектора на направление другого вектора показывает, какую часть длины первого вектора составляет его составляющая вдоль выбранного направления. Если угол между векторами равен φ, скалярная проекция a на направление b равна |a| cos φ. Она может быть положительной, отрицательной или нулевой. Проекцию удобно использовать, когда нужно учесть только движение вдоль заданного направления.
Формула a·b = |a||b| cos φ объединяет три свойства: длины двух векторов и угол между ними. Если известны длины и угол, можно сразу вычислить произведение; если известны произведение и длины, можно найти косинус угла. Так геометрическое условие, например величина угла, переводится в числовое равенство. Это особенно полезно, когда в задаче нужно доказать прямой угол или вычислить длину отрезка.
Когда заданы координаты, скалярное произведение находят без построения угла. Для векторов a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) вычисляют a·b = x₁x₂ + y₁y₂, а длины находят по формулам |a| = √(x₁² + y₁²) и |b| = √(x₂² + y₂²). После этого подставляют результаты в формулу косинуса. Такой порядок удобен тем, что координаты позволяют получить и числитель, и знаменатель, даже если угол заранее неизвестен.
Условие a·b = 0 позволяет заменить рисунок с прямым углом вычислительной проверкой. Для доказательства сначала задают два вектора вдоль нужных сторон, затем находят их координаты или используют длины и угол. Если произведение получилось нулевым и оба вектора ненулевые, стороны перпендикулярны. Если в задаче есть неизвестная координата или длина, равенство нулю превращается в уравнение для её нахождения.
Чтобы найти длину суммы, сначала представляют её квадрат как скалярное произведение: |a + b|² = (a + b)·(a + b). При раскрытии получаются |a|², два одинаковых смешанных произведения и |b|², поэтому |a + b|² = |a|² + 2(a·b) + |b|². Для разности вместо этого выходит |a − b|² = |a|² − 2(a·b) + |b|². Так можно вычислить диагональ параллелограмма, если диагональ выражается суммой или разностью векторов его сторон.
Сначала выбирают векторы, которые прямо связаны с искомым углом, перпендикулярностью или отрезком. Если известны координаты точек, проще получить координаты векторов и использовать координатную формулу. Если даны длины и угол между сторонами, удобнее вычислять произведение по формуле с косинусом. Проверка выбранного способа проста: все нужные величины должны быть известны или выражаться через искомую.
| Что требуется найти или доказать | Используемая связь | Основной приём |
|---|---|---|
| Угол между векторами | cos φ = (a·b)/(|a||b|) | Вычислить произведение и длины, затем найти угол по косинусу. |
| Перпендикулярность векторов | a·b = 0 для ненулевых векторов | Составить нужные векторы и проверить их произведение. |
| Длина суммы или разности векторов | |a ± b|² = |a|² ± 2(a·b) + |b|² | Вычислить квадрат длины, затем извлечь корень. |
| Длина диагонали или отрезка | Вектор диагонали выразить через векторы сторон | Записать вектор отрезка, найти квадрат его длины и извлечь корень. |
Сначала определите, какой объект требуется найти: угол, перпендикулярность или длину. Затем выберите строку таблицы и проверьте, какие величины известны в условии. Если координаты не даны, но известны длины и угол, обычно удобнее использовать геометрическую формулу.
Задача 1. Даны векторы a = (1; 0) и b = (1; √3). Найдите угол между ними. Координаты позволяют вычислить скалярное произведение и длины, не строя векторы на чертеже. Затем по косинусу определим угол.
Ответ: 60°. Проверка: произведение положительно, значит угол острый, как и найденное значение.
Задача 2. Вершины треугольника имеют координаты A(0; 0), B(2; 1), C(1; −2). Докажите, что стороны AB и AC перпендикулярны. Для проверки нужно составить векторы, начинающиеся в общей вершине A. Тогда скалярное произведение этих векторов проверит угол именно между указанными сторонами.
Ответ: AB ⟂ AC. Значит, треугольник прямоугольный при вершине A.
Задача 3. Стороны параллелограмма, выходящие из одной вершины, имеют длины 5 и 3, а угол между ними равен 60°. Найдите диагональ, являющуюся суммой векторов этих сторон. Диагональ представим вектором a + b, а квадрат её длины раскроем через скалярное произведение. Такой подход учитывает и длины сторон, и угол между ними.
Ответ: 7. Если требуется другая диагональ, её вектор будет разностью сторон, и смешанное слагаемое в формуле получит знак минус.
Угол между векторами иногда путают с углом между прямыми или лучами на чертеже. Направления векторов важны: при развороте одного вектора на 180° угол и знак произведения меняются. Ошибка возникает, если ориентироваться только на геометрическое положение отрезков. Проверьте, откуда и куда направлена каждая стрелка, и используйте угол именно между этими направлениями.
При вычислении угла можно забыть разделить скалярное произведение на произведение длин. Тогда за косинус ошибочно принимают само произведение, хотя оно зависит ещё и от длины векторов. Эта путаница часто появляется при переходе от формулы скалярного произведения к формуле угла. Проверьте, что в записи cos φ стоит дробь с знаменателем |a||b|.
Нулевое произведение не доказывает перпендикулярность, если один из векторов нулевой. У нулевого вектора нет направления, поэтому угол с ним не определён. Ошибку допускают, механически применяя условие a·b = 0 без проверки самого объекта. Перед выводом убедитесь, что оба вектора имеют ненулевую длину.
При раскрытии |a + b|² иногда пропускают смешанное слагаемое или записывают его без коэффициента 2. Оно появляется дважды: как a·b и b·a, причём эти произведения равны. Для разности знак этого слагаемого отрицательный, и его легко перепутать. Раскройте скобки как произведение (a + b)·(a + b) или (a − b)·(a − b), чтобы проверить каждый член.
Для работы со скалярным произведением нужны координаты вектора и формула его длины, а также умение находить вектор по координатам точек. При решении задач на фигуры пригодятся свойства треугольника и параллелограмма: они помогают выразить отрезок или диагональ через стороны. Если известны угол и длины сторон, можно применить формулу скалярного произведения непосредственно.
Скалярное произведение продолжает координатный метод в геометрии: условия о направлениях и углах становятся уравнениями. Оно помогает проверять перпендикулярность и вычислять длины без измерений по рисунку. Эти приёмы пригодятся в аналитическом решении геометрических задач, где свойства фигур описывают с помощью координат и формул.
Как по координатам найти угол между векторами?
Сначала вычислите скалярное произведение: для векторов (x₁; y₁) и (x₂; y₂) оно равно x₁x₂ + y₁y₂. Затем найдите длины векторов и разделите скалярное произведение на произведение длин. Полученное число — косинус угла, по нему определяют угол.
Почему перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение?
Между ненулевыми перпендикулярными векторами угол равен 90°, а cos 90° = 0. Поэтому произведение длин на косинус угла тоже равно нулю. Обратное утверждение также верно для ненулевых векторов.
Можно ли по скалярному произведению определить, острый угол между векторами или тупой?
Да, если оба вектора ненулевые. Положительное скалярное произведение означает, что угол острый, отрицательное — что тупой, а нулевое — что прямой. Это следует из знака косинуса соответствующего угла.
Как найти длину суммы двух векторов?
Возведите длину суммы в квадрат: |a + b|² = (a + b)·(a + b) = |a|² + 2(a·b) + |b|². Подставьте известные длины и скалярное произведение, затем извлеките квадратный корень. Для разности знак смешанного слагаемого будет отрицательным.
Как выбрать векторы для доказательства перпендикулярности в геометрической задаче?
Выберите именно те векторы, чьи направления совпадают со сторонами или отрезками, образующими нужный угол. Если известны координаты точек, найдите координаты этих векторов как разности координат конца и начала. Затем вычислите их скалярное произведение и покажите, что оно равно нулю.
4.9. Применение скалярного произведения к решению задач
