4.8. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a · b = |a||b| cos α. Здесь |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. В отличие от сложения векторов, эта операция даёт не новый вектор, а число. По нему можно судить о взаимном расположении векторов.

Угол между векторами — угол между их направлениями, который используют в формуле скалярного произведения. Если векторы отложить от одной точки, угол между ними выбирают от 0° до 180°. Тогда косинус этого угла показывает, насколько направления векторов совпадают или расходятся. Это позволяет связать геометрическую картину с числовым результатом.

Скалярный квадрат вектора — скалярное произведение вектора на самого себя: a · a. Угол вектора с самим собой равен 0°, а cos 0° = 1, поэтому a · a = |a|². Это определение удобно, когда нужно получить квадрат длины через произведение. По координатам оно приводит к простой формуле нахождения длины.

Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°; их скалярное произведение равно нулю. Действительно, cos 90° = 0, поэтому в формуле произведения весь результат обращается в ноль. Обратно, если векторы ненулевые и их произведение равно нулю, угол между ними прямой. Это свойство используют для проверки перпендикулярности.

Как это устроено

Формула a · b = |a||b| cos α учитывает сразу две характеристики: длины векторов и угол между ними. Если направления совпадают, косинус равен 1 и произведение положительно; если векторы перпендикулярны, косинус равен нулю. При противоположных направлениях косинус равен −1, поэтому произведение отрицательно. Результат — число, потому что длины и косинус являются числами, а их произведение тоже число.

На плоскости пусть a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), а векторы имеют начало в одной точке. Из координат можно выразить их длины, а косинус угла связать с координатными проекциями векторов на оси. В результате геометрическая формула преобразуется в a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Складываются именно произведения координат, стоящих на одинаковых местах: первая с первой и вторая со второй. Так вычисление не требует отдельно находить угол.

Для ненулевых векторов длины |a| и |b| положительны, поэтому знак скалярного произведения определяется знаком cos α. При остром угле косинус положителен, значит, произведение положительно; при прямом он равен нулю. При тупом угле косинус отрицателен, поэтому произведение отрицательно. Это позволяет определить вид угла без построения, если известны координаты векторов.

Если в формуле скалярного произведения взять b = a, угол α станет равен 0°, а cos α — единице. Тогда a · a = |a|². Для вектора a = (x; y) координатная формула даёт a · a = x² + y², следовательно, |a|² = x² + y². Извлекая квадратный корень, получаем формулу длины: |a| = √(x² + y²).

Скалярное произведение переместительно: a · b = b · a, поскольку произведение чисел не меняется при перестановке множителей. Оно также распределяется относительно сложения: a · (b + c) = a · b + a · c и (a + b) · c = a · c + b · c. Эти свойства позволяют раскрывать скобки, группировать слагаемые и вычислять произведение суммы векторов, не находя предварительно координаты каждого нового вектора. Например, так проще работать с выражениями, где встречаются суммы и разности.

Основные формулы и свойства скалярного произведения

Если известны длины и угол, используйте геометрическую формулу; если заданы координаты — координатную. Для проверки перпендикулярности удобнее вычислить координатное произведение и проверить, равно ли оно нулю. Таблица помогает выбрать нужное правило по условию задачи.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 4 и 5, если угол между ними равен 60°. Даны именно длины и угол, поэтому координаты искать не нужно. Подставим значения в формулу через длины и косинус. Поскольку cos 60° = ½, получаем:

1. Записываем формулу: a · b = |a||b| cos α.
2. Подставляем данные: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Вычисляем: 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Положительный результат согласуется с тем, что угол 60° острый.

Задача 2. Найдите скалярное произведение a = (2; −3) и b = (4; 1), а затем определите, острый или тупой угол они образуют. По координатам применяем сумму произведений соответствующих координат. Знак результата позволит выбрать вид угла, поскольку оба вектора ненулевые.

1. Записываем координатную формулу: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставляем координаты: a · b = 2 · 4 + (−3) · 1.
3. Считаем: 8 − 3 = 5.
4. Число 5 положительно, значит, косинус угла положителен и угол острый.

Ответ: скалярное произведение равно 5, угол острый. Здесь важно перемножить координаты по соответствующим парам, а не крест-накрест.

Задача 3. Найдите m, при котором a = (m; 2) и b = (3; −6) перпендикулярны. Условие перпендикулярности переводит геометрическую задачу в уравнение: произведение должно равняться нулю. После подстановки координат останется найти неизвестное число.

1. Записываем условие: a · b = 0.
2. Подставляем координаты: m · 3 + 2 · (−6) = 0.
3. Упрощаем: 3m − 12 = 0.
4. Решаем уравнение: 3m = 12, поэтому m = 4.

Ответ: m = 4. При этом произведение соответствующих координат даёт 12 − 12 = 0, значит, векторы действительно перпендикулярны.

Типичные ошибки

Иногда скалярное произведение принимают за вектор, потому что в его записи участвуют два вектора. Но операция устроена иначе: итогом является число, например 5 или 0. Ошибку допускают, перенося свойства сложения векторов на произведение. Проверьте себя: если после вычислений вы получили пару координат, значит, результат оформлен неверно.

В формуле через длины могут забыть cos α или подставить угол, не являющийся углом между направлениями векторов. Тогда получится неверное значение, даже если длины найдены правильно. Причина ошибки — внимание только к длинам, хотя угол определяет знак и величину произведения. Перед вычислением запишите всю формулу и проверьте, какой именно угол дан.

При вычислении по координатам иногда перемножают координаты крест-накрест, например x₁y₂ и y₁x₂. Однако формула требует складывать произведения соответствующих координат: x₁x₂ + y₁y₂. Путаница возникает из-за привычки составлять перекрёстные выражения в других задачах. Чтобы проверить себя, расположите координаты векторов парами по одинаковым позициям.

Нулевое произведение не всегда означает прямой угол: такой вывод верен для двух ненулевых векторов. Нулевой вектор не задаёт направления, поэтому угол между ним и другим вектором не определён. Ошибка появляется, если забыть условие о ненулевых векторах. Перед выводом о перпендикулярности проверьте, что длина каждого вектора отлична от нуля.

Связь с другими темами

Для работы с координатной формулой нужно уметь находить длину вектора по его координатам: |a| = √(x² + y²). Геометрическая формула использует косинус угла, поэтому пригодится умение вычислять его для известных углов или находить значение по формуле. Скалярное произведение связывает координаты, длины и углы в одном вычислении. Благодаря этому оно помогает проверять перпендикулярность, находить углы между векторами и решать задачи в координатах.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• По геометрической формуле a · b = |a||b| cos α.
• По координатам a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: a · a = |a|².
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Знак произведения показывает, острый, прямой или тупой угол образуют ненулевые векторы.