Об аксиомах и основных понятиях планиметрии

Определения и обозначения

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Название происходит от слов, связанных с плоскостью и измерением. В отличие от стереометрии, она рассматривает плоские фигуры, а стереометрия изучает тела и фигуры в пространстве.

Аксиома — исходное утверждение, принимаемое без доказательства. Она нужна, чтобы начать построение геометрической теории и не доказывать каждое положение заново. На аксиомы затем опираются при доказательстве теорем.

Точка и прямая — основные понятия планиметрии. Их нельзя объяснить через более простые геометрические понятия, поэтому свойства точки и прямой задаются аксиомами. Остальные фигуры описывают, используя эти понятия.

Принадлежность точки прямой показывает, лежит ли точка на данной прямой. Запись A ∈ a читают «точка A принадлежит прямой a», а A ∉ a — «точка A не принадлежит прямой a». Такое обозначение помогает кратко описывать расположение объектов.

Как это устроено

Геометрия начинается с небольшого набора основных понятий, потому что определения не могут бесконечно объяснять каждое слово через другие слова. Если для точки ввести определение через новое понятие, то потребуется определить и это новое понятие. Поэтому некоторые понятия принимают исходными, а их свойства формулируют в аксиомах.

Аксиомы задают исходные свойства точек и прямых. Они не выводятся из более ранних утверждений внутри данной системы, а служат её началом. Все последующие определения, свойства и теоремы получают из аксиом с помощью логических рассуждений и доказательств.

Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Слово «любые» означает, что правило действует для каждой выбранной пары точек, а «различные» — что точки не совпадают. «Ровно одна» означает одновременно существование прямой и её единственность: такая прямая есть, и второй прямой через эти точки быть не может.

На каждой прямой есть точки, принадлежащие ей, и точки, которые ей не принадлежат. Это позволяет отличать положение точки на прямой от положения точки вне прямой. Благодаря такому отношению можно описывать взаимное расположение точек и прямых без длинных слов.

Аксиомы и основные понятия образуют основу планиметрии, потому что на них строится весь дальнейший язык геометрии. Сначала с их помощью задают отрезки, лучи, углы и другие фигуры. Затем свойства этих фигур доказывают, связывая новые рассуждения с уже принятыми аксиомами и доказанными теоремами.

Основные понятия и исходные утверждения планиметрии

В таблице собраны главные термины и утверждения параграфа. Сначала определите, о каком объекте идёт речь, затем посмотрите его запись или роль в рассуждении.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точки A и B различны. Сколько прямых проходит через них? Нужно определить, какое исходное утверждение подходит к условию.

1. Сравниваем условие с аксиомой о прямой через две точки.
2. В условии сказано, что точки A и B различны, поэтому требование аксиомы выполнено.
3. Аксиома утверждает не только существование прямой, но и её единственность.

Ответ: через точки A и B проходит ровно одна прямая.

Задача 2

Условие: на прямой a отмечены точки M и N. Требуется записать, что обе точки принадлежат этой прямой.

1. Название прямой обозначено строчной буквой a, а названия точек — заглавными буквами M и N.
2. Для каждой точки ставим знак принадлежности ∈, после него записываем название прямой.
3. Получаем два отдельных утверждения, потому что принадлежность нужно указать для каждой точки.

Ответ: M ∈ a и N ∈ a.

Задача 3

Условие: точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через пары этих точек и почему? Сначала перечислим все пары различных точек.

1. Пара A и B задаёт одну прямую, обозначим её AB.
2. Пара A и C задаёт одну прямую AC.
3. Пара B и C задаёт одну прямую BC.
4. Полученные прямые различны: если бы, например, AB и AC совпадали, то точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит условию.

Ответ: можно провести 3 прямые: AB, AC и BC. Для каждой пары действует аксиома о единственной прямой, а условие не позволяет двум таким прямым совпасть.

Типичные ошибки

Аксиому принимают за теорему. Так происходит, когда любое математическое утверждение считают требующим доказательства. Проверьте себя: аксиома является исходным положением, а теорема должна иметь доказательство.

Через две точки проводят несколько прямых. Ошибка возникает, если забыть слово «ровно» в формулировке аксиомы. Проверьте, что для двух различных точек указана одна и только одна прямая.

Путают обозначения точки и прямой. Иногда запись A ∈ a ошибочно читают как «прямая a принадлежит точке A». Сначала назовите объект слева, затем объект справа: точка A принадлежит прямой a.

Применяют аксиому к совпадающим точкам. Если две названные точки на самом деле совпадают, условие «различные» не выполнено. Перед применением аксиомы проверьте, что рассматриваются две разные точки.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны начальные представления о точке, прямой и плоскости, а также умение читать геометрические обозначения и рисунки. Эти навыки помогают правильно понимать записи принадлежности и условие аксиомы.

Аксиомы становятся основанием для следующих тем: отрезков, лучей, углов и треугольников. На их основе формулируют и доказывают теоремы планиметрии, поэтому внимательное понимание исходных понятий облегчает дальнейшее обучение.

Что запомнить

• Планиметрия изучает фигуры на плоскости.
• Точка и прямая относятся к основным понятиям геометрии.
• Аксиома принимается без доказательства.
• Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Принадлежность точки прямой обозначают знаком ∈.
• Теоремы доказывают, опираясь на аксиомы и ранее доказанные утверждения.