"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением так, чтобы совпали все их вершины и стороны. Поэтому у них равны не только соответствующие стороны, но и соответствующие углы. Чтобы доказать равенство, не обязательно сравнивать все элементы: достаточно установить равенство элементов, указанных в одном из трёх признаков. В задачах важно правильно сопоставить вершины и выбрать нужный признак. После доказательства равенства можно сравнивать любые соответствующие стороны и углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равные треугольники — это треугольники, которые совмещаются при наложении. Если совместить их вершины и стороны, соответствующие стороны и углы окажутся равны. Это определение помогает понять, почему доказательство равенства сразу даёт сведения обо всех элементах треугольников.
Соответствующие элементы — вершины, стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении треугольников. Например, если вершина A соответствует вершине A₁, то сторона AB может соответствовать A₁B₁, а угол A — углу A₁. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно записать равенства и не сравнить элементы, которые не совпадают при наложении.
Признак равенства треугольников — условие, по которому можно установить равенство треугольников, не сравнивая все их элементы. Для этого достаточно проверить определённый набор сторон и углов. Признаки позволяют строить доказательство по данным задачи, даже если остальные элементы пока неизвестны.
Запись равенства треугольников показывает соответствие вершин с помощью порядка букв. Например, в записи △ABC = △A₁B₁C₁ вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁ соответствуют друг другу. Поэтому порядок букв нужно выбирать только после проверки равных элементов: от него зависит, какие стороны и углы можно сравнивать дальше.
Определять равенство через наложение удобно потому, что оно описывает совпадение всей фигуры, а не только отдельных её частей. Если треугольники можно совместить, каждая вершина одного попадёт в соответствующую вершину другого. Тогда совпадут и стороны, соединяющие эти вершины, и углы между сторонами. Поэтому из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов.
Соответствие вершин устанавливают по условию и рисунку, а не по тому, как буквы случайно расположены в записи. Ищите отмеченные равные стороны и углы, общие вершины и элементы, расположенные одинаково. Например, если равны AB и A₁B₁, то их концы должны соответствовать друг другу в выбранной записи. Верная расстановка букв особенно важна, когда после доказательства нужно назвать равные углы или стороны.
Почему для вывода о целом треугольнике хватает только некоторых элементов? Геометрическая форма треугольника определяется заданными сочетаниями сторон и углов: при фиксированном наборе соответствующих элементов остальные элементы уже не могут меняться независимо. Поэтому достаточно проверить один из установленных наборов, а не измерять все стороны и углы по отдельности. Такие достаточные условия и называют признаками равенства.
В первом признаке сравнивают две стороны и угол между ними: стороны задают длины двух «лучей», а угол — их взаимное направление. Во втором признаке задают одну сторону и два угла, прилежащих к ней, то есть расположенных у её концов. Третий признак использует три стороны: если все три пары соответствующих сторон равны, треугольники равны. В каждом случае элементы должны соответствовать друг другу, иначе условие признака не выполнено.
В доказательстве сначала выделяют два треугольника, равенство которых нужно установить. Затем находят пары равных элементов и объясняют, откуда известно каждое равенство: из условия, свойства углов или общей стороны. После этого выбирают признак, которому соответствуют найденные данные, и записывают равенство треугольников в верном порядке. Только затем используют равенство треугольников, чтобы сравнить другие соответствующие элементы.
| Признак | Что дано | Что следует |
|---|---|---|
| По двум сторонам и углу между ними | Две стороны одного треугольника равны двум соответствующим сторонам другого, а углы между ними равны | Треугольники равны |
| По стороне и двум прилежащим углам | Сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого | Треугольники равны |
| По трём сторонам | Три стороны одного треугольника равны трём соответствующим сторонам другого | Треугольники равны |
Пользуйтесь таблицей после того, как установили соответствие элементов двух треугольников. Сравните данные задачи с колонкой «Что дано» и убедитесь, что выполнено условие целиком. Затем назовите признак и запишите вывод о равенстве треугольников.
Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ даны AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Докажите равенство треугольников. Стороны AB и AC сходятся в вершине A, а A₁B₁ и A₁C₁ — в вершине A₁. Значит, данные углы заключены между соответствующими сторонами.
Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку. После этого можно заключить, например, что BC = B₁C₁ и соответствующие углы равны.
Задача 2. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O; AO = OC и BO = OD. Докажите равенство треугольников AOB и COD. Здесь полезно заметить, что равные отрезки образуют две пары сторон, а угол между ними расположен при точке пересечения. Вертикальные углы при пересечении равны.
Ответ: треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, равны также их соответствующие стороны и углы, например AB и CD.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D лежит на AC, а BD — биссектриса угла B. Докажите, что BD перпендикулярна AC. Так как AB = CB, в треугольниках ABD и CBD уже есть пара равных сторон; отрезок BD у них общий. Биссектриса делит угол B на две равные части.
Ответ: BD перпендикулярна AC. Равенство треугольников позволило сначала получить равенство углов при D, а положение этих углов на одной прямой — сделать вывод о прямом угле.
Неверно сопоставляют вершины и записывают равенство треугольников в неправильном порядке. Это происходит, если ориентироваться только на вид записи, не проверяя пары равных сторон и углов. Перед выводом выпишите соответствия вершин и сравните по ним каждый известный элемент. Например, равной стороне AB должна соответствовать сторона, соединяющая вершины, сопоставленные с A и B.
Применяют первый признак, хотя угол не заключён между данными сторонами. Иногда замечают две равные стороны и любой равный угол и считают, что этого достаточно. Но признак требует именно угла, образованного этими сторонами, иначе набор данных ему не соответствует. Проверьте на чертеже, что обе выбранные стороны имеют общую вершину, в которой расположен указанный угол.
Считают достаточными две равные стороны. Две стороны сами по себе не задают, под каким углом они соединены, поэтому возможны треугольники разной формы. Ошибку допускают, перенося признак «две стороны и угол» на случай, когда угол не известен. Для самопроверки перечислите данные и убедитесь, что среди них есть полный набор хотя бы одного признака.
Доказывают равенство отдельных сторон или углов, но не треугольников целиком. Равенство нескольких элементов — это данные для доказательства, а не его конечный вывод. Такая ошибка возникает, когда забывают сформулировать, к чему приводит применение признака. Завершите рассуждение словами о равенстве треугольников и укажите признак; тогда можно обоснованно сравнить остальные соответствующие элементы.
Для работы с равными треугольниками понадобятся знания об элементах треугольника, видах углов и свойствах вертикальных и смежных углов. В частности, вертикальные углы помогают получить равенство углов, а смежные — установить, что равные углы на прямой прямые. Позже признаки пригодятся при доказательстве свойств равнобедренного треугольника, а также свойств медиан, биссектрис и высот. Они помогают обосновывать равенство и параллельность отрезков и используются в задачах на геометрические фигуры.
Как определить, какие элементы треугольников являются соответствующими?
Сопоставьте вершины, которые занимают одинаковое положение: например, концы равных сторон и вершины равных углов. Помогают условие задачи, отметки на чертеже и порядок букв в записи равенства. Проверяйте, чтобы все известные равные элементы соответствовали выбранной паре вершин.
Почему в первом признаке нужен именно угол между двумя данными сторонами?
Он задаёт, как расположены эти две стороны друг относительно друга. Если известен другой угол, стороны могут образовать треугольники разной формы, даже если сами стороны попарно равны. Поэтому для первого признака важен угол, образованный именно данными сторонами.
Можно ли доказать равенство треугольников по двум сторонам и любому углу?
Нет, двух равных сторон и произвольного равного угла недостаточно для применения первого признака. Угол должен быть заключён между этими сторонами. В других случаях нужен дополнительный элемент или другой способ доказательства.
Как выбрать нужный признак равенства по условию задачи?
Сначала выделите два треугольника и выпишите известные равенства соответствующих элементов. Затем проверьте, совпадают ли они с одним из наборов: две стороны и угол между ними; сторона и два прилежащих угла; три стороны. Не используйте признак, если в условии не хватает нужного элемента.
Что можно утверждать после доказательства равенства двух треугольников?
Можно утверждать, что равны все их соответствующие стороны и углы. При этом соответствие определяется порядком вершин в записи равенства. Например, из равенства △ABC = △A₁B₁C₁ следует, что A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁.
14. Равные треугольники.
