15. Первый признак равенства треугольников.

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении совмещаются всеми соответствующими сторонами и углами. Иначе говоря, один треугольник можно переместить так, чтобы он полностью совпал с другим. Это понятие позволяет говорить о равенстве фигур целиком, а не только об отдельных измерениях.

Соответствующие элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если A соответствует A₁, B — B₁, то сторона AB соответствует A₁B₁, а угол A — углу A₁. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно сравнивать элементы двух фигур.

Первый признак равенства треугольников утверждает: треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними. Условие записывают, например, так: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Признак помогает доказать равенство без измерения всех элементов.

Включённый угол — угол, образованный двумя рассматриваемыми сторонами. Для сторон AB и AC включённым является угол ∠A, потому что обе стороны имеют общую вершину A. Этот термин помогает проверить, подходит ли данный угол для первого признака.

Как это устроено

Равенство треугольников устанавливают через наложение, потому что именно так проверяют полное совпадение фигур. Если после перемещения все соответствующие стороны и углы совпали, треугольники нельзя отличить друг от друга по форме и размерам. Поэтому равенство отдельных элементов используют как основание для вывода о совпадении всей фигуры.

Две стороны и угол между ними однозначно задают треугольник. Сначала можно построить одну сторону, затем от её конца отложить вторую сторону под заданным углом, а после соединить свободные концы. Другого треугольника с теми же двумя сторонами и включённым углом не получится, поэтому одинаковые данные приводят к равным треугольникам.

Важен именно угол между данными сторонами, потому что он определяет, как эти стороны расположены друг относительно друга. Если изменить этот угол, изменится форма треугольника и обычно его третья сторона. Любой другой угол не фиксирует взаимное положение выбранных сторон, поэтому не даёт условий первого признака.

Перед применением признака нужно установить соответствие вершин. Для этого сравнивают равные стороны и смотрят, какие вершины у них общие, а затем проверяют положение равных углов. Только после такой проверки можно правильно записать равенства вроде AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁.

Доказательство по первому признаку заменяет непосредственное измерение всех сторон и углов. Достаточно подтвердить три условия: равенство первой пары сторон, второй пары сторон и включённых углов. После этого равенство треугольников следует из признака, а равенство остальных соответствующих элементов можно использовать без новых измерений.

Первый признак равенства треугольников

В таблице удобно проверять условие признака по частям. Сначала найдите две пары соответствующих сторон, затем убедитесь, что сравниваемые углы расположены между ними. Если все три условия выполнены, можно сделать общий вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ даны равенства AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Требуется доказать равенство треугольников. Угол A образован сторонами AB и AC, а угол A₁ — сторонами A₁B₁ и A₁C₁.

1. Сопоставим вершины: A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁.
2. Проверим две пары сторон: AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.
3. Проверим включённые углы: ∠A = ∠A₁.
4. Применим первый признак равенства треугольников.

Все три условия признака выполнены. Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁. Значит, равны и остальные соответствующие стороны и углы.

Задача 2

Даны AB = DE, BC = EF и ∠B = ∠E. Нужно доказать равенство треугольников ABC и DEF и указать соответствующие вершины. Угол B образован сторонами AB и BC, а угол E — сторонами DE и EF.

1. По равенству углов сопоставим B и E.
2. Сторона AB соответствует DE, поэтому A соответствует D.
3. Сторона BC соответствует EF, поэтому C соответствует F.
4. Получаем две пары равных сторон и равные включённые углы, значит, применяем первый признак.

Соответствие вершин такое: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Поэтому запись вывода имеет вид △ABC = △DEF. Остальные соответствующие стороны и углы также равны.

Задача 3

Даны два треугольника, для которых AB = MN и AC = MP. Равенство углов при A и M не указано. Нужно выяснить, можно ли доказать равенство треугольников.

1. Заметим, что известны только две пары равных сторон.
2. Для первого признака нужно ещё равенство углов A и M, причём именно углов между данными сторонами.
3. Такого условия нет, поэтому признак применить нельзя.
4. Разные углы между равными сторонами могут дать треугольники разной формы и с разными третьими сторонами.

Доказать равенство по данным условиям нельзя. Необходимо дополнительно знать, что ∠A = ∠M, или получить равенство треугольников другим способом. Одного равенства двух сторон недостаточно.

Типичные ошибки

Угол берут любой. Ошибка возникает, когда ученик видит равный угол, но не проверяет его положение. Нужно убедиться, что угол образован именно двумя сторонами, указанными в условии.

Неверно сопоставляют вершины. Иногда равные стороны записывают в неправильном порядке и получают несоответствующие элементы. Проверьте общие вершины сторон и составьте соответствие до записи вывода.

Считают, что двух сторон достаточно. Две стороны не определяют угол между ними, поэтому форма треугольника может изменяться. Ищите третье условие — равенство включённых углов.

Путают равенство треугольников с равенством площадей или отдельных углов. Одинаковая площадь или один равный угол ещё не означает полного совпадения фигур. После применения признака должно быть доказано равенство самих треугольников.

Связь с другими темами

До изучения признака нужно знать элементы треугольника, обозначение сторон и углов, равенство отрезков и углов, а также наложение фигур. Эти знания позволяют читать условие и находить соответствующие элементы.

Признак нужен в доказательствах равенства отрезков и углов, а также в задачах на неизвестные элементы треугольников. Он заменяет длинные измерения коротким логическим доказательством.

Дальше первый признак будет использоваться вместе с другими признаками равенства треугольников и свойствами равнобедренного треугольника. Это поможет доказывать более сложные геометрические утверждения.

Что запомнить

• Первый признак основан на двух сторонах и угле между ними.
• Все три указанных элемента должны быть соответственно равны.
• Угол в признаке должен быть включённым.
• После применения признака треугольники считаются равными целиком.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• Перед доказательством нужно установить правильное соответствие вершин.