16. Второй признак равенства треугольников.

Определения и обозначения

Второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Например, AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E позволяют сравнить треугольники ABC и DEF. Признак нужен, чтобы доказать равенство треугольников по трём указанным элементам.

Прилежащие к стороне углы — это два угла треугольника, имеющие данную сторону общей стороной. У стороны AB такими углами будут ∠A и ∠B. Это уточнение помогает выбрать именно те три элемента, которые требуются для второго признака.

Соответственные элементы — это стороны и углы двух треугольников, сопоставленные друг другу при сравнении. Если A соответствует D, B — E, то сторона AB соответствует DE, а угол A — углу D. Такое соответствие нужно установить до записи равенства треугольников.

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. При этом совпадают их соответственные стороны и углы. Поэтому после доказательства равенства треугольников можно делать вывод о равенстве нужных элементов.

Как это устроено

Чтобы найти сторону, к которой прилегают два заданных угла, посмотрите, какие вершины у этих углов. Соединяющий их отрезок и будет общей стороной: для ∠A и ∠B это AB. Значит, в набор для второго признака входят AB, ∠A и ∠B, а не произвольная сторона треугольника.

Равенства одной стороны и двух прилежащих углов достаточно, потому что сторона задаёт расстояние между двумя вершинами, а углы задают направления двух других сторон. Если наложить равные стороны друг на друга, то при их концах можно совместить и равные углы. Третьи вершины тогда совпадут, поэтому совпадут и сами треугольники.

Сначала установите соответствие вершин: сравните равные углы и концы равных сторон. После этого проверьте, что порядок букв в записи согласован, например A соответствует D, B — E, C — F, поэтому ABC соответствует DEF. Такая проверка не даёт перепутать сторону или заключить о равенстве не тех элементов.

В доказательстве сначала перечисляют данные и уже доказанные равенства: например AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. Затем указывают, что сторона AB и сторона DE имеют при себе два равных угла, и называют второй признак. В конце записывают ΔABC = ΔDEF и используют равенство соответственных элементов.

В задачах на равенство отрезков или углов часто нельзя сравнить их напрямую. Тогда эти отрезки или углы включают в подходящие треугольники, находят общую сторону либо равные элементы и применяют признак. После равенства треугольников нужный вывод получают как равенство соответственных сторон или углов.

Признаки равенства треугольников

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: выпишите известные равенства и сопоставьте их с одной строкой. Для второго признака обязательно убедитесь, что оба угла имеют выбранную сторону общей. После этого назовите признак и только затем сделайте вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF: AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. Докажите, что треугольники равны. Здесь сторона AB расположена между вершинами A и B, а DE — между D и E.

1. Сопоставим вершины: A ↔ D, B ↔ E, значит, оставшиеся вершины соответствуют как C ↔ F.
2. У нас равны сторона AB и DE, а также два угла при концах этих сторон: ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.
3. По второму признаку равенства треугольников ΔABC = ΔDEF.

Ответ: треугольники ABC и DEF равны, поэтому равны все их соответствующие стороны и углы.

Задача 2. Отрезки AB и CD пересекаются в O; AO = CO, ∠BAO = ∠DCO и ∠AOB = ∠COD. Докажите, что OB = OD. Нужно сначала сравнить треугольники AOB и COD, а затем использовать соответствие сторон.

1. Сопоставим A ↔ C, O ↔ O, B ↔ D.
2. Имеем AO = CO, ∠BAO = ∠DCO и ∠AOB = ∠COD.
3. Это сторона AO и два прилежащих к ней угла, поэтому ΔAOB = ΔCOD по второму признаку.
4. Сторона OB соответствует OD, следовательно, OB = OD.

Ответ: OB = OD.

Задача 3. В треугольнике ABC точка D лежит на BC, ∠BAD = ∠DAC и BD = DC. Второй признак к треугольникам ABD и ACD напрямую применить нельзя: равная сторона BD соответствует DC, но данные углы не являются углами при концах этой стороны. Однако утверждение AB = AC в данном случае верно и доказывается иначе.

1. Треугольники ABD и ACD имеют равные основания BD и DC и общую высоту из A к прямой BC, поэтому их площади равны.
2. Площади можно записать как ½·AB·AD·sin∠BAD и ½·AC·AD·sin∠DAC.
3. Углы равны, AD — общий отрезок, значит, из равенства площадей следует AB = AC.

Ответ: AB = AC, но не по второму признаку. Эта задача показывает, что недостаток элементов для одного признака ещё не означает неверность самого утверждения.

Типичные ошибки

1. Иногда применяют второй признак к двум углам и стороне, которая не является общей стороной этих углов. Так происходит из-за невнимательного чтения схемы. Проверьте: выбранная сторона должна соединять вершины обоих данных углов.

2. Можно перепутать соответствующие вершины и записать треугольники в разном порядке. Тогда неверно определяются и стороны, и углы. Сначала составьте пары вершин, а затем прочитайте буквы в одинаковой последовательности.

3. Равенство одной стороны и одного угла считают достаточным. Но второй признак требует ещё одного угла, причём оба угла должны прилегать к выбранной стороне. Выпишите все три элемента перед тем, как назвать признак.

4. Равенство углов иногда принимают только потому, что на рисунке они выглядят одинаковыми. Чертёж может быть выполнен неточно и сам по себе ничего не доказывает. Ищите равенство в условии или получайте его из известных свойств и доказательств.

Связь с другими темами

До изучения признака нужно знать определение равных треугольников, обозначения сторон и углов, а также свойства смежных и вертикальных углов. Полезно помнить и первый признак равенства треугольников, чтобы различать наборы достаточных элементов.

Второй признак применяется при доказательстве равенства отрезков и углов, в задачах с биссектрисами и пересекающимися линиями. Он также подготавливает к изучению третьего признака и дальнейших свойств треугольников.

Что запомнить

• Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
• Оба угла должны иметь данную сторону общей стороной.
• Перед применением признака установи соответствие вершин.
• Равенство треугольников позволяет заключить о равенстве всех соответственных сторон и углов.
• Равенство элементов должно быть дано или доказано, а не определяться по рисунку.
• В доказательстве назови признак, по которому получено равенство треугольников.