17. Третий признак равенства треугольников.

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением так, чтобы совпали все их вершины и стороны. Например, если при наложении вершина A совпала с D, а сторона AB — с DE, эти элементы считают соответствующими. Определение нужно, чтобы понимать, какой результат дают признаки равенства.

Соответственные вершины — вершины двух треугольников, которые совмещаются при наложении. По соответствующим вершинам определяют, какие стороны нужно сравнивать: сторона AB соответствует стороне DE, если A соответствует D, а B — E. Это помогает не перепутать пары равных отрезков.

Третий признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Обычно условие записывают тремя равенствами, например AB = DE, BC = EF, AC = DF. Признак позволяет доказать равенство треугольников без поиска равных углов.

Как это устроено

Чтобы определить соответствие, сначала сопоставляют стороны, равенство которых дано в условии. Если AB = DE, то сторона AB пары ABC должна соответствовать DE пары DEF; её концы A и B сопоставляются с D и E в одном из двух возможных порядков. После этого третья вершина и остальные стороны определяются однозначно.

Трёх соответствующих сторон достаточно, потому что длины сторон однозначно задают форму треугольника. Если закрепить один отрезок, третья вершина должна находиться на окружности с центром в одном конце и на окружности с центром в другом конце. Эти окружности пересекаются не более чем в двух точках, расположенных по разные стороны от общей стороны, поэтому получаются обычный треугольник и его зеркальное отражение.

Третий признак формулируют так: если три стороны первого треугольника соответственно равны трём сторонам второго, то треугольники равны. В доказательстве нужно назвать все три пары, а не ограничиваться фразой «стороны равны». Затем записывают вывод: треугольник ABC равен треугольнику DEF.

Обосновать признак можно следующим образом. Совместим одну сторону первого треугольника с равной ей стороной второго. Концы двух оставшихся сторон должны лежать в точке пересечения окружностей с центрами в концах общей стороны и радиусами, равными двум другим сторонам; на одной выбранной стороне от общей стороны такая точка единственна. Значит, третьи вершины совпадут, а треугольники совместятся.

Признаки равенства треугольников

В таблице ищите не просто количество равных элементов, а их вид и расположение. Для третьего признака углы вообще не нужны: достаточно трёх пар соответствующих равных сторон. Перед выбором признака проверьте, какие именно данные есть в условии.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF даны AB = DE, BC = EF, AC = DF. Требуется определить соответствие вершин и указать признак равенства. Равные стороны уже подсказывают, как сопоставить элементы.

1. Из AB = DE следует, что сторона AB соответствует DE.
2. Из BC = EF следует, что сторона BC соответствует EF, поэтому общая вершина B соответствует E.
3. Тогда A соответствует D, C соответствует F; равенство AC = DF подтверждает соответствие.
4. По трём парам равных сторон треугольники ABC и DEF равны по третьему признаку.

Ответ: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F; применён третий признак равенства треугольников.

Задача 2

В треугольниках ABC и ACD сторона AC общая, AB = CD и BC = AD. Нужно доказать равенство треугольников. Общая сторона не пропускается: она образует третью пару равных сторон.

1. AC = AC, потому что это одна и та же сторона.
2. По условию AB = CD и BC = AD.
3. Три стороны треугольника ABC соответственно равны трём сторонам треугольника CDA: AB = CD, BC = DA, AC = CA.
4. Следовательно, ABC = CDA по третьему признаку.

Ответ: треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку.

Задача 3

Точка M — середина AB и CD. Тогда AM = BM и CM = DM. Если в условии дополнительно сказано, что третьи стороны треугольников AMC и BMD уже равны, то требуемое AC = BD фактически дано; полезно проверить, не является ли это опечаткой.

1. По определению середины AM = BM, а CM = DM.
2. Если отдельно дано AC = BD, то три пары сторон треугольников AMC и BMD равны.
3. По третьему признаку треугольники AMC и BMD равны.
4. Их соответствующие третьи стороны равны, то есть AC = BD.

Ответ: при указанном дополнительном условии AC = BD следует из него напрямую; для содержательного доказательства третья пара сторон не должна быть заранее равенством AC = BD.

Типичные ошибки

Неверное соответствие сторон. Стороны сопоставляют только по порядку букв, хотя данные равенства могут задавать другой порядок. Проверьте, совпадают ли общие вершины у сопоставленных сторон.

Равенство любых трёх сторон. Из трёх равенств отрезков нельзя делать вывод, если неясно, какие стороны принадлежат каким треугольникам. Запишите именно три пары соответствующих сторон.

Путаница с другими признаками. Две стороны и угол или несколько углов относятся не к третьему признаку. Перед решением пересчитайте элементы: здесь должны быть три стороны.

Необоснованный вывод. Нельзя просто написать, что треугольники равны, если одно из равенств не объяснено. Отдельно укажите общую сторону, равенство по условию или равенство половин отрезка.

Связь с другими темами

До изучения признака нужно понимать, что такое равные треугольники, и уметь находить их соответствующие вершины и стороны. Эти навыки определяют правильный порядок букв в записи равенства треугольников.

В доказательствах часто используют равенство отрезка самому себе и равенство половин отрезка. Последнее следует из определения середины: середина делит отрезок на два равных отрезка.

Признаки равенства помогают доказывать равенство других отрезков и углов. Они также применяются в задачах о свойствах различных фигур.

Что запомнить

• Третий признак использует три пары соответствующих сторон.
• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, треугольники равны.
• Перед применением признака нужно установить соответствие вершин.
• Общая сторона двух треугольников равна самой себе.
• Равенство треугольников позволяет заключить о равенстве всех соответствующих элементов.