7. Прямоугольные треугольники.

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Такой угол называется прямым, а два других — острыми, то есть каждый меньше 90°. Поняв, какой угол прямой, можно определить остальные элементы треугольника и использовать его особые свойства.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Они сходятся в вершине прямого угла, поэтому на рисунке это две стороны, примыкающие к отметке-квадратику. Название помогает отличить эти стороны от третьей и правильно выбирать данные для решения задачи.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Она не касается вершины прямого угла, а соединяет вершины двух острых углов. Гипотенуза — самая длинная сторона: напротив неё находится угол 90°, который больше каждого острого угла, а напротив большего угла лежит большая сторона.

Острые углы прямоугольного треугольника — два угла, каждый из которых меньше 90°. Вместе они составляют 90°, потому что сумма всех углов треугольника равна 180°, а прямой угол занимает 90°. Это соотношение позволяет найти один острый угол, если известен другой.

Как это устроено

Чтобы определить катеты и гипотенузу, сначала найди прямой угол. Стороны, которые сходятся в его вершине, — катеты; третья сторона находится напротив прямого угла и называется гипотенузой. Это правило не зависит от того, как повернут или нарисован треугольник: ориентиром служит именно угол 90°, а не положение стороны на листе.

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже равен 90°, поэтому на два других вместе остаётся 180° − 90° = 90°. Например, если один острый угол равен 37°, второй равен 90° − 37° = 53°. Так можно проверить, подходят ли указанные углы одному прямоугольному треугольнику.

Гипотенуза больше каждого катета не просто потому, что так принято её называть. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Прямой угол больше любого острого, значит, напротив него лежит сторона, большая каждой стороны напротив острого угла. Поэтому гипотенуза длиннее обоих катетов.

Признаки равенства треугольников позволяют установить, что две фигуры совпадают по форме и размеру, не сравнивая все их стороны и углы по отдельности. Для прямоугольных треугольников достаточно равенства двух катетов: прямые углы между ними тоже равны, и получается признак по двум сторонам и углу между ними. Также достаточно равенства катета и прилежащего к нему острого угла: вместе с прямым углом это задаёт сторону и два угла. Наконец, если равны гипотенузы и по одному острому углу, равны и прямые углы, а значит, можно применить признак по стороне и двум прилежащим углам.

Если один острый угол равен 30°, противолежащий ему катет составляет половину гипотенузы. Причину можно увидеть, если достроить треугольник до равнобедренного: при удвоении катета и подходящем расположении второй копии получается треугольник с углами 30°, 60° и 90°, в котором сторона напротив 30° вдвое меньше стороны напротив 90°. Поэтому в задаче нужно сначала найти именно катет напротив угла 30°, а не соседний с ним.

Свойства и признаки прямоугольных треугольников

Используй таблицу как подсказку: сначала найди в условии известные угол, сторону или равенство, затем выбери соответствующий вывод. Последний столбец подсказывает, для чего пригодится свойство. В доказательстве равенства проверь, что сравниваешь соответствующие элементы двух прямоугольных треугольников.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Найти второй острый угол и назвать гипотенузу. Обозначим вершину прямого угла C, а вершины острых углов A и B; пусть ∠A = 37°. Нужно использовать сумму острых углов, а гипотенузу определить по её расположению относительно прямого угла.

1. Так как треугольник прямоугольный, сумма острых углов равна 90°.
2. Вычитаем известный угол: ∠B = 90° − 37° = 53°.
3. Угол 90° находится при вершине C. Сторона напротив него — AB, значит, AB является гипотенузой.

Ответ: второй острый угол равен 53°, гипотенуза — AB. Обрати внимание: гипотенуза определяется не по длине и не по тому, как она расположена на странице, а по прямому углу.

Задача 2. Даны два прямоугольных треугольника: равны их гипотенузы и один острый угол. Доказать равенство треугольников и соответствие остальных сторон. Пусть в первом треугольнике равные элементы — гипотенуза AB и угол A, а во втором — гипотенуза A₁B₁ и угол A₁. Важно установить, какие элементы соответствуют друг другу.

1. В каждом треугольнике прямой угол равен 90°, поэтому прямые углы треугольников равны.
2. По условию AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁. Значит, равны гипотенузы и по одному острому углу.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу треугольники равны.
4. У равных треугольников соответствующие стороны равны: катет, прилежащий к равным углам, соответствует такому же катету, а второй катет — второму.

Ответ: треугольники равны; их соответствующие катеты попарно равны. Не перепутай стороны: соответствие определяется вершинами равных углов и прямых углов.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 14 см, а один острый угол равен 30°. Найти катет напротив этого угла и второй острый угол. В условии указано, какая сторона нужна относительно угла, поэтому сначала применим свойство угла 30°, а затем проверим углы треугольника.

1. Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
2. Вычисляем: 14 : 2 = 7 см.
3. Второй острый угол дополняет 30° до 90°: 90° − 30° = 60°.

Ответ: катет равен 7 см, второй острый угол равен 60°. Для проверки убедись, что найденный катет лежит именно напротив угла 30°, а два острых угла в сумме составляют 90°.

Типичные ошибки

Ошибка: называть гипотенузой просто самую длинную или наклонную на рисунке сторону. Длину по схеме можно оценить неверно, а после поворота треугольника «наклонная» сторона может измениться. Гипотенуза всегда лежит напротив угла 90°; найди прямой угол и посмотри на противоположную сторону.

Ошибка: считать катетами любые две стороны. Катетами являются только стороны, образующие прямой угол, поэтому одна и та же сторона может быть катетом в одном треугольнике и гипотенузой в другом. Проверь, сходятся ли выбранные стороны в вершине прямого угла.

Ошибка: говорить, что сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 90°. На самом деле 90° составляют только два острых угла, а все три угла в сумме дают 180°. Для проверки сложи углы: прямой плюс два острых должны дать 180°.

Ошибка: при угле 30° делить гипотенузу пополам и приписывать результат прилежащему катету. Свойство относится к катету, лежащему напротив угла 30°, поэтому сначала отметь угол и найди противоположную ему сторону. Если нужная сторона касается вершины этого угла, это прилежащий катет, и правило к нему напрямую не применяется.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о признаках равенства треугольников и о том, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Понадобится и связь между величинами углов и противолежащих сторон: напротив большего угла лежит большая сторона. Прямоугольные треугольники помогают доказывать равенство фигур и находить неизвестные углы и стороны. Их свойства также пригодятся при изучении теоремы Пифагора и тригонометрии.

Что запомнить

• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Катеты образуют прямой угол.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Гипотенуза больше каждого катета.
• Сумма острых углов равна 90°.
• Прямоугольные треугольники можно сравнивать по специальным признакам равенства.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.