"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Его противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали имеют одинаковую длину и делятся точкой пересечения пополам. Эти свойства помогают находить стороны, периметр и диагонали, доказывать, что параллелограмм является прямоугольником, и решать задачи с помощью теоремы Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Обычно его обозначают ABCD, где вершины идут по порядку: стороны — AB, BC, CD и AD. Такое определение сразу связывает прямоугольник со всеми свойствами параллелограмма.
Диагонали прямоугольника — отрезки, соединяющие противоположные вершины. В прямоугольнике ABCD это AC и BD: они проходят внутри фигуры и соединяют вершины, не имеющие общей стороны. Диагонали нужны для изучения формы прямоугольника и вычисления его элементов.
Противоположные стороны — пары сторон, у которых нет общей вершины: AB и CD, BC и AD. В прямоугольнике они параллельны и равны. Это позволяет находить неизвестные стороны по известным и вычислять периметр.
Признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Признак применяют, когда прямые углы на чертеже не даны или их трудно доказать. Достаточно установить равенство двух диагоналей.
Почему одного прямого угла достаточно? Пусть один угол параллелограмма равен 90°. Соседний с ним угол в сумме даёт 180°, значит, он тоже равен 90°. Противоположные углы параллелограмма равны своим соответствующим углам, поэтому все четыре угла становятся прямыми.
Равенство и параллельность противоположных сторон появляются из свойств параллелограмма, а не из отдельного измерения. В любом параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому для него автоматически верны AB ∥ CD, BC ∥ AD и AB = CD, BC = AD.
Докажем равенство диагоналей прямоугольника ABCD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD: сторона AB у них общая, BC = AD как противоположные стороны, а углы ABC и BAD прямые. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие стороны AC и BD равны.
Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам, потому что прямоугольник — параллелограмм. У любого параллелограмма диагонали пересекаются в одной точке, а эта точка является серединой каждой диагонали. Поэтому если AC и BD пересеклись в точке O, то AO = OC и BO = OD.
Для вычислений диагональ удобно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника. Например, диагональ AC и стороны AB, BC образуют треугольник ABC с прямым углом B. По теореме Пифагора AC² = AB² + BC², поэтому неизвестную сторону можно найти как квадратный корень из разности квадратов диагонали и известной стороны.
Таблица помогает быстро отличить свойства углов, сторон и диагоналей. В последнем ряду записан не обычный факт, а признак: его используют для доказательства того, что параллелограмм является прямоугольником.
| Объект или свойство | Что верно для прямоугольника | Почему это верно |
|---|---|---|
| Углы | Все четыре угла прямые и равны 90° | Прямоугольник определён как параллелограмм с прямым углом; свойства параллелограмма дают остальные углы |
| Противоположные стороны | Параллельны и равны попарно: AB ∥ CD, BC ∥ AD; AB = CD, BC = AD | Это свойства любого параллелограмма |
| Соседние стороны | Пересекаются под прямым углом, но не обязательно равны | Все углы прямоугольника прямые; равенство соседних сторон бывает у квадрата |
| Диагонали | Равны: AC = BD | Получается при сравнении треугольников, образованных сторонами и диагоналями |
| Точка пересечения диагоналей | Делит каждую диагональ пополам | Так происходит у диагоналей любого параллелограмма |
| Признак прямоугольника | Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник | Равенство диагоналей приводит к равенству соседних углов, а они в сумме дают 180° |
В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 8 см, а сторона BC — 5 см. Нужно найти две остальные стороны и периметр. Обозначение вершин по порядку позволяет сразу определить пары противоположных сторон.
Ответ: CD = 8 см, AD = 5 см, периметр равен 26 см.
Диагональ прямоугольника равна 13 см, одна сторона — 5 см. Требуется найти вторую сторону. Диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник, поэтому известная диагональ является гипотенузой.
Ответ: вторая сторона прямоугольника равна 12 см.
Докажем, что параллелограмм ABCD с равными диагоналями AC и BD является прямоугольником. Сравним треугольники ABC и BAD, которые имеют общую сторону AB и используют данные о противоположных сторонах и диагоналях. Это позволит получить равенство углов при стороне AB.
Следовательно, параллелограмм имеет прямой угол, а значит, является прямоугольником.
Ошибка: называть прямоугольником любой четырёхугольник с одним прямым углом. Одного угла недостаточно без условия, что фигура является параллелограммом. Проверь себя: в определении должны присутствовать и параллелограмм, и прямой угол.
Ошибка: считать равными любые соседние стороны. У прямоугольника равны только противоположные стороны, а соседние равны лишь в частном случае — у квадрата. Проверь обозначения: для ABCD верны AB = CD и BC = AD.
Ошибка: утверждать, что диагонали прямоугольника перпендикулярны. Их основные свойства — равенство и деление пополам точкой пересечения; прямой угол между диагоналями не обязателен. Проверь себя на вытянутом прямоугольнике: его диагонали пересекаются не под прямым углом.
Ошибка: применять теорему Пифагора к трём отрезкам без указания треугольника. Сначала назови прямоугольный треугольник и определи гипотенузу, которой является диагональ. Только после этого записывай d² = a² + b².
До изучения прямоугольника нужны определение и свойства параллелограмма: параллельность и равенство противоположных сторон, свойства углов и диагоналей. Также пригодятся виды углов и теорема Пифагора. Без этих знаний доказательства и вычисления будут неполными.
Прямоугольник станет основой для изучения квадрата и ромба, а также площадей фигур. Его диагонали и стороны часто встречаются в задачах на периметр, длины отрезков и прямоугольные треугольники. Свойства фигуры помогают переходить от геометрического чертежа к вычислениям.
Тема связывает параллелограммы с признаками равенства треугольников. Сравнивая треугольники, можно доказать равенство диагоналей и вывести признак прямоугольника. Поэтому умение находить равные стороны и углы особенно важно.
Чем прямоугольник отличается от произвольного параллелограмма?
У любого параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали делятся пополам. У прямоугольника дополнительно все углы прямые, а диагонали равны.
Почему для определения прямоугольника достаточно одного прямого угла?
Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, поэтому угол, соседний с прямым, тоже прямой. Противоположные углы равны, значит, прямыми становятся все четыре угла.
Всегда ли диагонали прямоугольника перпендикулярны?
Нет, диагонали прямоугольника обычно не перпендикулярны. Они равны и делятся точкой пересечения пополам, а перпендикулярными бывают, например, диагонали квадрата.
Как найти сторону прямоугольника по диагонали и другой стороне?
Диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. Если диагональ d, известная сторона a, а искомая сторона b, то b = √(d² − a²).
Можно ли доказать, что параллелограмм является прямоугольником, только по равенству его диагоналей?
Да. Равенство диагоналей позволяет сравнить два треугольника по трём сторонам и получить равенство соседних углов. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, поэтому каждый из них прямой.
18. Прямоугольник.
