"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Треугольник — фигура из трёх сторон, соединяющих три вершины; его можно описывать сразу по двум признакам. По длинам сторон различают равносторонние, равнобедренные и разносторонние треугольники, а по величинам углов — остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Такая классификация помогает точно назвать фигуру, увидеть связь между её сторонами и углами и выбрать подходящие свойства для решения задач. Один треугольник одновременно относится к одному виду по сторонам и одному виду по углам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Треугольник — это фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти точки называют вершинами, отрезки — сторонами, а углы между сторонами — углами треугольника. Например, в треугольнике ABC вершины — A, B и C, стороны — AB, BC и CA. Обозначение по вершинам помогает точно указать фигуру и её элементы.
По длинам сторон выделяют равносторонний, равнобедренный и разносторонний треугольники. У равностороннего все три стороны равны; у равнобедренного равны две стороны, которые называют боковыми, а третью — основанием. У разностороннего длины всех сторон различны. Эти названия позволяют сразу описать, какие стороны можно сравнивать и какие свойства могут пригодиться в задаче.
По величинам углов треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Остроугольный имеет три угла меньше 90°, прямоугольный — один угол ровно 90°, а тупоугольный — один угол больше 90°. Слова «прямой» и «тупой» здесь относятся к углам, а не к сторонам. Такая классификация помогает понять, какие геометрические свойства применимы.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны, а равным сторонам соответствуют равные противолежащие углы. В равностороннем все углы равны и составляют по 60°. У прямоугольного и тупоугольного треугольников остальные два угла острые. Эти признаки связывают классификацию по сторонам с классификацией по углам и позволяют делать выводы, даже если известны не все элементы.
Треугольники делят по сторонам и углам, потому что это два разных способа описать одну фигуру. Длины сторон и величины углов — разные характеристики: знание одной не всегда сообщает всё о другой. Поэтому название «равнобедренный» отвечает на вопрос о сторонах, а «тупоугольный» — об углах. Один треугольник может получить название из каждой группы, например быть одновременно равнобедренным и остроугольным.
Чтобы распознать вид по сторонам, сравнивают все три длины. Если они одинаковы, треугольник равносторонний; если равны только две, он равнобедренный; если каждая длина отличается от остальных, он разносторонний. Равные стороны лежат напротив равных углов, поэтому в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если все углы различны, то и все стороны различны; иначе две равные стороны дали бы два равных угла.
Для классификации по углам каждый угол сравнивают с 90°. Если все меньше 90°, треугольник остроугольный; если один равен 90°, он прямоугольный; если один больше 90°, он тупоугольный. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому два прямых угла уже заняли бы всю сумму, не оставив места третьему. Два тупых угла вместе превысили бы 180°, так что в треугольнике может быть не больше одного прямого или тупого угла.
Виды по сторонам и углам сочетаются, потому что отвечают на разные вопросы. Например, прямоугольный треугольник может быть разносторонним, а тупоугольный — равнобедренным. Равносторонний треугольник всегда остроугольный: его углы равны, а сумма 180°, значит, каждый равен 60°. Если равнобедренным называют треугольник хотя бы с двумя равными сторонами, равносторонний считается его частным случаем; при определении «ровно две равные стороны» это не так.
| Основание классификации | Вид треугольника | Определяющее условие | Дополнительный признак |
|---|---|---|---|
| По сторонам | Равносторонний | Все три стороны равны | Все три угла равны 60° |
| По сторонам | Равнобедренный | Две стороны равны | Углы при основании равны |
| По сторонам | Разносторонний | Все стороны имеют разную длину | Все углы различны |
| По углам | Остроугольный | Все углы меньше 90° | Нет прямых и тупых углов |
| По углам | Прямоугольный | Один угол равен 90° | Два других угла острые |
| По углам | Тупоугольный | Один угол больше 90° | Два других угла острые |
Пользуйся таблицей так: сначала выясни, что дано — длины сторон или углы, и выбери соответствующую часть. Затем проверь определяющее условие, а дополнительный признак используй для контроля или вывода. Для полного описания можно назвать вид треугольника по обеим классификациям.
Задача 1. Определить вид треугольника по сторонам 5 см, 5 см и 8 см. Сравниваем длины: две стороны одинаковы, а третья отличается. Значит, треугольник равнобедренный, причём боковые стороны равны 5 см, а основание — 8 см.
Ответ: равнобедренный треугольник. Проверка: стороны могут образовать треугольник, поскольку сумма двух коротких сторон 5 + 5 больше третьей стороны 8.
Задача 2. Углы треугольника равны 40°, 60° и 80°. Определить вид по углам и сторонам. Сначала сравним углы с 90°: каждый из них меньше 90°, значит, треугольник остроугольный. Все углы различны, поэтому и противолежащие им стороны имеют разные длины.
Ответ: остроугольный и разносторонний. Здесь важно не смешивать две классификации: первая часть ответа описывает углы, вторая — стороны.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найти углы при основании и определить вид по углам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Вместе с углом при вершине они составляют 180°, поэтому на два равных угла остаётся 180° − 40° = 140°.
Ответ: углы при основании равны 70° и 70°; треугольник остроугольный. Проверка: 40° + 70° + 70° = 180°.
Иногда равнобедренным называют только треугольник, у которого равны ровно две стороны. Так происходит из-за разных принятых определений: по одному равнобедренный имеет хотя бы две равные стороны, по другому — именно две. Перед решением проверь, какое определение используется в условии или классе. Если равны все три стороны, треугольник точно равносторонний, а его отнесение к равнобедренным зависит от формулировки.
Можно принять угол за прямой, потому что на чертеже он выглядит почти как 90°. Но рисунок бывает выполнен неточно, поэтому внешний вид не доказывает равенство угла 90°. Проверяй точное условие задачи или выполняй измерение транспортиром, если оно разрешено. Если величина не дана и не следует из доказательства, не называй треугольник прямоугольным лишь по рисунку.
Другая ошибка — считать, что равнобедренный треугольник обязательно остроугольный. Равенство сторон относится к классификации по сторонам, а вид углов устанавливают отдельно. Сравни каждый угол с 90° или используй вычисленные величины. Так можно проверить, например, что равнобедренный треугольник бывает и тупоугольным.
Нельзя предполагать, что у треугольника два прямых или два тупых угла. Такое предположение противоречит сумме углов 180°: два прямых уже дают 180°, а два тупых дают больше. Проверяй сумму, включая третий угол, прежде чем делать вывод о виде. Если получилось два таких угла, значит, неверно прочитано условие или допущена ошибка в вычислениях.
Для изучения видов треугольников нужно уметь распознавать вершины, стороны и углы, различать острый, прямой и тупой углы и знать, что сумма углов треугольника равна 180°. Эти сведения помогают находить неизвестные углы и проверять ответ. Позже классификация понадобится при доказательстве равенства треугольников и изучении свойств равнобедренных и прямоугольных треугольников. Она также помогает выбирать способ решения задач на построение, теорему Пифагора и геометрические доказательства.
Может ли равносторонний треугольник считаться равнобедренным?
Да, если равнобедренным называют треугольник хотя бы с двумя равными сторонами. У равностороннего равны все три стороны, а значит, и любые две. В некоторых учебных определениях равнобедренным называют треугольник ровно с двумя равными сторонами, поэтому учитывай принятую формулировку.
Можно ли определить вид треугольника по двум сторонам?
Если известны только две длины, можно определить, равны ли эти стороны, но нельзя всегда установить вид по всем трём сторонам: длина третьей стороны не задана. По двум сторонам также нельзя без дополнительных сведений определить вид по углам. Если известна третья сторона или углы, классификацию можно завершить.
Может ли треугольник быть одновременно равнобедренным и прямоугольным?
Да. Например, у него может быть прямой угол, а две другие стороны — равные; тогда и углы при основании равны. Значит, классификация по сторонам и классификация по углам не исключают друг друга.
Почему в треугольнике не бывает двух тупых углов?
Каждый тупой угол больше 90°. Два таких угла вместе уже дают сумму больше 180°, а сумма всех углов треугольника равна 180°. Поэтому тупой угол может быть только один.
Как определить вид треугольника, если известны только его углы?
По углам определяют, остроугольный, прямоугольный или тупоугольный треугольник перед нами: сравнивают каждый угол с 90°. По равенству углов можно также узнать, равны ли соответствующие стороны, и сделать вывод о виде по сторонам. Например, три равных угла означают равносторонний треугольник.
19. Виды треугольников.
