"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Отношение отрезков сравнивает их длины и показывает, во сколько раз одна длина больше или меньше другой. Если отношения длин нескольких отрезков равны, эти отрезки называют пропорциональными. С помощью пропорции находят неизвестную длину, а особый случай — средний пропорциональный — связан с квадратным корнем из произведения двух длин. Эти понятия помогают решать геометрические задачи, работать с масштабом и делить отрезки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отношение двух отрезков — это отношение их длин. Если длины отрезков равны a и b, то их отношение записывают как a/b; обе длины перед вычислением выражают в одинаковых единицах. Такое сравнение помогает понять, во сколько раз один отрезок длиннее другого, а не просто на сколько сантиметров.
Отрезки называют пропорциональными, если отношения их длин равны. Для длин a, b, c и d условие записывают так: a/b = c/d. Это определение нужно, чтобы сравнивать пары отрезков между собой и составлять равенство, из которого можно найти неизвестную длину.
Четвёртый пропорциональный отрезок — отрезок, длина которого является четвёртым членом пропорции при трёх заданных длинах. Например, если известны a, b и c, длину d находят из равенства a/b = c/d. Понятие удобно в задачах, где три длины известны, а четвёртую требуется вычислить.
Средний пропорциональный отрезок — отрезок, длина которого стоит между двумя заданными длинами в пропорции. Если его длина равна x, а данные длины — a и b, то a/x = x/b. Это определение приводит к равенству x² = ab и позволяет найти искомую длину через квадратный корень.
Длину каждого отрезка выражают положительным числом: длина не бывает отрицательной или нулевой. Чтобы найти отношение, например, 6 см к 9 см, делят первую длину на вторую: 6/9 = 2/3. Если обе длины перевести в миллиметры, получится 60/90, то есть то же самое отношение 2/3, потому что при переводе обе величины умножились на одинаковое число.
Отношение описывает кратное сравнение: оно отвечает на вопрос, во сколько раз одна длина больше или меньше другой. Если a/b = 2, длина a вдвое больше длины b; если a/b = 1/2, то a вдвое меньше b. Порядок важен: отношение a/b обычно не равно b/a, поэтому при сравнении двух пар отрезков нужно сохранять одинаковый порядок длин.
Равенство a/b = c/d называют пропорцией. Чтобы убрать деление, обе части равенства можно умножить на bd; в результате получаем ad = bc. Значит, произведение крайних членов a и d равно произведению средних b и c. Это свойство превращает пропорцию в уравнение: если одна длина неизвестна, её можно найти обычными алгебраическими действиями.
Для четвёртого пропорционального сначала записывают пропорцию так, чтобы известные длины и неизвестная стояли в нужном порядке. Например, при длинах a, b и c условие a/b = c/x даёт ax = bc, откуда x = bc/a. После вычисления проверяют результат: подставляют x в исходное равенство и сравнивают отношения. Также нужно убедиться, что найденное число положительно и единицы измерения всех длин согласованы.
Средний пропорциональный x между длинами a и b удовлетворяет равенству a/x = x/b. По основному свойству пропорции получаем x² = ab: квадрат средней длины равен произведению крайних длин. Поэтому x = √(ab), причём берут положительный корень, так как речь идёт о длине отрезка. Такая зависимость позволяет найти неизвестный отрезок, даже если он не равен ни одной из данных длин.
| Понятие | Условие для длин | Что можно найти |
|---|---|---|
| Отношение отрезков | a/b | Во сколько раз одна длина больше или меньше другой |
| Пропорциональные отрезки | a/b = c/d | Неизвестную длину по остальным трём |
| Четвёртый пропорциональный отрезок | a/b = c/x | Четвёртый член пропорции x = bc/a |
| Средний пропорциональный отрезок | a/x = x/b; x² = ab | Среднюю длину x = √(ab) |
Сначала выбери строку по тому, что требуется найти: отношение, неизвестный член пропорции или среднюю длину. Затем запиши условие для длин в нужном порядке и проверь, что единицы измерения одинаковы. В таблице x обозначает неизвестную положительную длину отрезка.
Чтобы сравнить длины, запишем отношение первого отрезка ко второму. Их длины уже даны в одинаковых единицах, поэтому переводить сантиметры не требуется. Сократим дробь и отдельно проверим, изменится ли результат при переводе обеих длин в миллиметры.
Ответ: 2/3. Отношение не зависит от общей единицы измерения, потому что обе длины при переводе умножаются на одинаковое число, а общий множитель сокращается.
Сохраняем порядок, указанный в условии: первой длине 4 см соответствует 6 см, а второй длине 10 см — x. Поэтому составляем равенство 4/10 = 6/x. По основному свойству пропорции перемножаем крайние и средние члены, после чего решаем уравнение.
Ответ: x = 15 см. Проверка показывает, что отношения равны, а значит, найденная длина удовлетворяет условию.
Среднюю длину обозначим x и поставим её между заданными числами в пропорции. По свойству пропорции квадрат x равен произведению крайних членов. Уравнение имеет два корня, но длину отрезка задаёт только положительный корень.
Ответ: 10 см. Подстановка подтверждает, что полученная длина действительно является средним пропорциональным между 5 см и 20 см.
Если одну длину выразить в сантиметрах, а другую в метрах и сразу составить отношение, вычисление будет неверным. Так бывает, когда единицы измерения считают несущественными и делят числа как записаны. Переведи обе длины в сантиметры или обе в метры и проверь, что числитель и знаменатель относятся к одной и той же единице.
Нельзя поменять порядок длин только в одном отношении: равенство a/b = c/d после такой перестановки может нарушиться. Ошибку допускают, когда записывают пары отрезков в разной последовательности. Проверь соответствие: первым членам обеих пар должны отвечать первые, а вторым — вторые.
В пропорции перемножают крайние члены между собой и средние между собой: при a/b = c/d получаем ad = bc. Если вместо этого соединить крайний член со средним, получится неверное уравнение. Самопроверка простая: подпиши четыре члена по порядку; крайние стоят на первом и четвёртом местах, средние — на втором и третьем.
При решении уравнения x² = ab можно получить два корня, но отрицательное число не может быть длиной. Иногда выбирают оба корня, забывая геометрический смысл величины. Оставь только положительное значение и подставь его в исходную пропорцию: равенство должно выполняться.
Для этой темы нужны умение находить длину отрезка, работать с дробями и решать простые уравнения: без этих действий трудно записать отношение и найти неизвестный член пропорции. Отношения длин используются при изучении подобия треугольников и теоремы Фалеса, где пропорциональность помогает сравнивать части фигур. Те же вычисления встречаются в задачах на масштаб и деление отрезка в заданном отношении. Поэтому навык составлять пропорцию пригодится и в геометрии, и в практических расчётах.
Что показывает отношение двух отрезков?
Оно показывает, во сколько раз длина одного отрезка больше или меньше длины другого. Например, отношение 2:3 означает, что первый отрезок составляет две трети длины второго.
Почему длины нужно выражать в одинаковых единицах?
Иначе сравниваются разные числовые величины: например, сантиметры и метры. Сначала переведи длины в одинаковые единицы, а затем дели одну на другую.
Как проверить, что четыре отрезка пропорциональны?
Запиши длины в заданном порядке и сравни отношения первой пары и второй пары. Можно также проверить равенство произведений крайних и средних членов пропорции.
Как найти неизвестный член пропорции?
Запиши равенство отношений и перемножь крайние члены пропорции, а также средние. Полученное уравнение реши относительно неизвестной длины.
Почему средний пропорциональный отрезок всегда положителен?
Длина отрезка не может быть отрицательной или равной нулю. Поэтому, если при решении уравнения x² = ab получаются два числа, длиной будет только положительный корень.
§ 36. Отношение и пропорциональность отрезков
