§ 37. Понятие подобия фигур

Определения и обозначения

Подобные фигуры — фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, размеры могут быть разными, но все стороны изменяются в одинаковое число раз. Это определение помогает отличить подобие от простого внешнего сходства.

Соответственные элементы — вершины, углы и стороны, которые сопоставлены друг другу в двух фигурах. Например, если вершине A соответствует A′, то угол при A соответствует углу при A′, а стороны, выходящие из этих вершин, нужно сравнивать с соответствующими сторонами второй фигуры. Порядок перечисления вершин важен, потому что он задаёт эти пары.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон, взятых в установленном порядке. Например, если сторона второй фигуры равна 9 см, а соответствующая сторона первой — 6 см, то коэффициент второй относительно первой равен 9/6 = 1,5. Он показывает, во сколько раз изменились размеры.

Обозначение подобия записывают, например, так: ABC ~ A′B′C′. Знак ~ означает, что фигуры подобны, а соседние буквы задают соответствующие вершины: A и A′, B и B′, C и C′. По этой записи можно правильно определить пары углов и сторон.

Как это устроено

Представьте два одинаковых по форме треугольника, один из которых нарисован крупнее. Увеличение не меняет величины углов и не делает одну сторону длиннее другой относительно остальных: каждая сторона умножается на одно и то же число. Поэтому треугольники остаются подобными, хотя их размеры различны. Так же устроены уменьшенная фотография и её оригинал, если изображение не растягивали неравномерно.

Чтобы сравнить фигуры, сначала устанавливают, какие элементы соответствуют друг другу. В записи ABCD ~ A′B′C′D′ порядок букв означает, что A соответствует A′, B — B′ и так далее. Тогда, например, AB сопоставляют с A′B′, а не с любой стороной второй фигуры. Проверка углов и расположения сторон помогает не перепутать пары, даже если фигуры повёрнуты или изображены по-разному.

Равенство углов означает, что соответствующие части фигур имеют одинаковую форму: углы не стали ни шире, ни уже. Пропорциональность сторон означает, что расстояния между соответствующими вершинами изменились в одном масштабе. Если одно отношение сторон отличается от остальных, фигура растянута неодинаково, и форма уже не сохраняется. Для треугольников равенства соответствующих углов достаточно: из суммы углов 180° следует, что треугольники имеют одинаковую форму, а стороны пропорциональны.

Коэффициент зависит от того, какую фигуру считают первой, а какую второй. Если k = 1,5, то стороны второй фигуры в полтора раза длиннее соответствующих сторон первой; при 0 < k < 1 вторая фигура меньше первой. Когда k = 1, соответствующие длины равны, хотя положение фигур может различаться. Поэтому в ответе нужно указывать порядок отношения, а не просто число.

Если поменять фигуры местами, отношение переворачивается: вместо длины второй стороны, делённой на длину первой, берут длину первой, делённую на длину второй. Например, для 9 см и 6 см коэффициент в одном порядке равен 9/6 = 1,5, а в обратном — 6/9 = 2/3. Эти числа обратны друг другу, поскольку описывают одно изменение с противоположной точки зрения. Сами фигуры от перестановки не меняются — меняется только выбранный порядок сравнения.

Соответствие элементов подобных фигур

Сначала найдите пару соответствующих вершин по записи подобия, а затем сопоставьте углы при них и стороны, соединяющие эти вершины. Для других пар действуйте так же, соблюдая порядок букв. Таблица показывает, какие свойства применяют к каждому типу элементов.

Разбор задач

Задача 1. Даны два треугольника с равными соответствующими углами. Можно ли заключить, что они подобны? Нужно проверить, достаточно ли этого условия, и учитывать, что речь идёт именно о треугольниках.

1. У каждого треугольника сумма углов равна 180°. Если два соответствующих угла равны, то и третьи углы равны.
2. Следовательно, все соответствующие углы треугольников равны. По свойству треугольников этого достаточно для подобия, а соответствующие стороны будут пропорциональны.

Ответ: да, треугольники подобны.

Задача 2. Соответственные стороны двух подобных четырёхугольников равны 6 см и 9 см. Найдите коэффициент подобия в указанном порядке фигур и сторону второй фигуры, соответствующую стороне первой длиной 4 см. Считаем, что 6 см — сторона первой фигуры, а 9 см — второй.

1. Коэффициент второй фигуры относительно первой равен отношению 9/6 = 1,5.
2. Искомая сторона второй фигуры в 1,5 раза больше соответствующей стороны первой: 4 · 1,5 = 6 см.
3. Проверяем единицы измерения: исходные длины даны в сантиметрах, поэтому ответ также записываем в сантиметрах.

Ответ: коэффициент подобия равен 1,5, искомая сторона — 6 см.

Задача 3. Пусть ABCD ~ A′B′C′D′, причём AB = 6 см, BC = 8 см, ∠A = 70°, ∠B = 90°, A′B′ = 9 см. Найдите B′C′ и ∠A′. Здесь данные заданы для примера, чтобы показать применение соответствия элементов.

1. По порядку букв A соответствует A′, B — B′, C — C′, D — D′. Поэтому AB и A′B′, а также BC и B′C′ — соответствующие стороны.
2. Коэффициент второй фигуры относительно первой равен 9/6 = 1,5. Тогда B′C′ = 8 · 1,5 = 12 см.
3. Соответствующие углы равны, значит, ∠A′ = ∠A = 70°.

Ответ: B′C′ = 12 см, ∠A′ = 70°.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать стороны, которые не являются соответственными. Её допускают, когда смотрят только на длины и не проверяют порядок вершин или расположение углов. Перед составлением отношения выпишите пары вершин и сторон из записи подобия; затем убедитесь, что сравниваете стороны между соответствующими вершинами.

Вторая ошибка — считать любые фигуры подобными только по равенству соответствующих углов. Для произвольных фигур этого может быть недостаточно: длины сторон должны быть пропорциональны. Проверяйте все нужные отношения сторон; исключение, которое стоит помнить, — треугольники, для которых равенства соответствующих углов достаточно.

Третья ошибка — перепутать коэффициент с обратным отношением. Такое случается, если не указать, какая фигура считается первой. Запишите отношение словами или дробью до вычисления: длина второй стороны, делённая на длину первой. При перестановке фигур числитель и знаменатель меняются местами.

Четвёртая ошибка — ожидать, что у подобных фигур соответствующие стороны обязательно равны. В общем случае они пропорциональны, а равны только при коэффициенте подобия 1. Проверьте отношение каждой пары: если оно одинаково, стороны могут быть разными; если оно равно 1, длины совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с подобием понадобятся отношения и пропорции: с их помощью находят неизвестные длины. Также нужно уметь распознавать равные углы и правильно сопоставлять элементы фигур. Дальше эти знания применяют при изучении подобных треугольников и в задачах на нахождение сторон.

Подобие встречается и за пределами геометрических чертежей. При увеличении плана или фотографии форма сохраняется, если все размеры меняются в одном масштабе. Коэффициент подобия в таком случае показывает, во сколько раз изменился размер изображения.

Что запомнить

• Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры.
• Соответственные углы подобных фигур равны.
• Длины соответствующих сторон подобных фигур пропорциональны.
• Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон в заданном порядке.
• При перестановке фигур коэффициент подобия становится обратным.
• При коэффициенте подобия 1 соответствующие стороны равны.