"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Гомотетия — преобразование плоскости, которое растягивает или сжимает фигуру относительно неподвижного центра. Каждая точка переходит в точку на той же прямой, проходящей через центр, а расстояние до центра изменяется в |k| раз. Знак коэффициента показывает направление: при k > 0 точка и её образ находятся по одну сторону от центра, при k < 0 — по разные. Гомотетичные фигуры подобны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и ненулевым коэффициентом k, при котором каждой точке A соответствует точка A′ и OA′ = k·OA в векторной форме. Иными словами, все точки перемещаются по прямым, проходящим через один центр, с одинаковым масштабом. Это определение позволяет описывать увеличение, уменьшение и разворот фигуры одной формулой.
Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой расположены исходные точки и их образы. Она сама при преобразовании не перемещается. По центру удобно строить образы точек и определять, в какую сторону они должны располагаться.
Коэффициент гомотетии — ненулевое число k, задающее масштаб и направление преобразования. Модуль |k| показывает, во сколько раз изменяются расстояния, а знак определяет положение образа относительно центра. Поэтому по коэффициенту можно заранее понять размер и расположение полученной фигуры.
Образ точки A′ — точка, в которую переходит A при гомотетии. Она лежит на прямой OA: при k > 0 точки A и A′ находятся по одну сторону от O, а при k < 0 — по разные. Расстояние до неё находят по правилу OA′ = |k|·OA.
Чтобы построить образ точки A, сначала проводят прямую через O и A. Затем выбирают направление: при положительном k образ откладывают на луче OA, а при отрицательном — на противоположном луче. После этого от центра откладывают длину |k|·OA, поэтому точка оказывается ровно в нужном месте.
Рассмотрим две точки A и B и их образы A′ и B′. Вектор между образами получается умножением вектора AB на одно и то же число k, поэтому его длина меняется в |k| раз: A′B′ = |k|·AB. Единый масштаб действует на любую пару точек, значит, гомотетия не искажает фигуру неравномерно.
Концы отрезка перемещаются по одному масштабу, поэтому образ всех промежуточных точек снова образует отрезок. Направление этого отрезка не меняется, если он не проходит через O, следовательно, исходный и образующий отрезки параллельны. Прямая через центр остаётся на той же прямой, а прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей.
Стороны угла переходят в параллельные им лучи или прямые, поэтому величина угла не изменяется. При этом все стороны фигуры умножаются на один и тот же |k|, так что отношения соответствующих сторон сохраняются. Значит, исходная фигура и её образ подобны; при |k| = 1 размеры не меняются, а при k = −1 точки переходят на противоположные лучи.
| Объект или величина | Что происходит при гомотетии с коэффициентом k |
|---|---|
| Центр и точка | Центр O остаётся неподвижным, а A переходит в A′ на прямой OA. |
| Расстояния от центра | OA′ = |k|·OA; знак k задаёт сторону расположения образа. |
| Расстояние между двумя точками | A′B′ = |k|·AB. |
| Прямая | Прямая через O остаётся на месте, остальные переходят в параллельные прямые. |
| Угол и форма фигуры | Углы сохраняются, форма не меняется, фигуры подобны. |
Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала определите положение образа относительно O, затем примените масштаб |k| к нужной длине. Для целой фигуры достаточно построить образы её вершин и соединить их в том же порядке.
Если коэффициент отрицательный, при построении нельзя забывать о противоположном направлении. Если |k| больше 1, образ больше исходной фигуры, а если |k| меньше 1 — меньше неё.
Условие: центр гомотетии O, коэффициент k = 2, OA = 3 см. Нужно найти OA′ и указать положение A′. Положительный коэффициент означает, что образ будет на том же луче.
Ответ: OA′ = 6 см; точка A′ лежит на луче OA, то есть по ту же сторону от O, что и A.
Условие: треугольник ABC гомотетичен треугольнику A′B′C′ с коэффициентом k = −½, а AB = 8 см. Нужно найти A′B′ и описать положение образов вершин.
Ответ: A′B′ = 4 см; каждая образующая вершина находится по другую сторону от центра, чем соответствующая исходная вершина.
Условие: OA = 4 см, OA′ = 10 см, точки A и A′ лежат на одном луче с началом O. Нужно найти k и образ отрезка длиной 7 см. Одинаковый луч сразу подсказывает знак коэффициента.
Ответ: k = 2,5; образ отрезка имеет длину 17,5 см.
Иногда коэффициент находят как OA/OA′, хотя по определению нужно брать отношение расстояния до образа к исходному: k = OA′/OA с учётом направления. Ошибка возникает из-за привычки сравнивать меньший отрезок с большим. Проверьте себя: при k = 2 образ должен быть в два раза дальше от центра.
При k < 0 образ ошибочно откладывают на том же луче. Отрицательный знак указывает на противоположное направление, а не на «отрицательную длину». Проведите прямую через O и убедитесь, что A и A′ лежат по разные стороны от центра.
Нельзя умножать длины на k без учёта знака. Длина не бывает отрицательной, поэтому для неё используют |k|, а знак применяют только при определении направления. Если в ответе получилась отрицательная длина, замените k на |k| и отдельно укажите положение образа.
Ещё одна ошибка — считать, что гомотетия сохраняет все расстояния. Она сохраняет углы и отношения соответствующих длин, но каждое расстояние умножает на |k|. Быстрая проверка: при |k| ≠ 1 хотя бы одна длина фигуры должна измениться.
Для понимания гомотетии нужны представления о луче, прямой, параллельных прямых и отношении отрезков. Эти понятия помогают построить образ точки и объяснить, почему соответствующие отрезки параллельны.
Гомотетия тесно связана с подобием треугольников: соответствующие стороны изменяются в одном отношении, а углы сохраняются. Поэтому преобразование удобно применять для построения подобных фигур и обоснования отношений между их соответствующими длинами.
Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?
Да, коэффициент может быть любым ненулевым числом, в том числе отрицательным. При k < 0 исходная точка и её образ располагаются по разные стороны от центра гомотетии.
Как найти образ точки при заданных центре и коэффициенте?
Проведите прямую через центр O и исходную точку A. На этой прямой отложите OA′ = |k|·OA: при k > 0 — в направлении луча OA, при k < 0 — в противоположном направлении.
Почему расстояние между образами точек умножается на модуль коэффициента?
Гомотетия перемещает все точки с одним и тем же масштабом |k|. Поэтому вектор между любыми двумя образами равен k-кратному вектору между исходными точками, а длина такого вектора равна |k|·AB.
Какие фигуры получаются при гомотетии?
Отрезок переходит в параллельный отрезок, а прямая, не проходящая через центр, — в параллельную прямую. Фигура и её образ имеют одинаковую форму и подобны, хотя их размеры могут измениться.
Чем гомотетия отличается от движения?
При движении расстояния между всеми точками сохраняются, поэтому фигура не меняет размера. При гомотетии расстояния умножаются на |k|, так что фигура может увеличиваться или уменьшаться.
§ 38. Гомотетия и ее свойства
