§ 39. Гомотетия и подобие

Определения и обозначения

Гомотетия с центром O и коэффициентом k — преобразование, при котором точка A переходит в точку A′ на прямой OA, причём OA′ = |k| · OA. Если k положительно, образ находится на том же луче, а если отрицательно — на противоположном. Это определение нужно, чтобы точно строить новые точки и понимать их положение относительно центра.

Коэффициент гомотетии k — число, которое задаёт, во сколько раз изменяются расстояния от центра, и указывает направление образов. Например, |k| = 2 означает увеличение расстояний вдвое, а |k| = ½ — уменьшение вдвое. Знание коэффициента позволяет сразу находить размеры образа без измерения каждой точки.

Подобные фигуры — фигуры, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Фигуры могут быть расположены по-разному и иметь разные размеры, но сохраняют одну и ту же форму. Это понятие помогает переносить известные свойства одной фигуры на другую.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных фигур. Если сторона второй фигуры в 3 раза больше соответствующей стороны первой, коэффициент подобия от первой ко второй равен 3. По этому числу можно сравнивать длины и находить отношение площадей.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A при гомотетии, проводят прямую через O и A, а затем откладывают от центра расстояние, равное |k| · OA. Направление выбирают по знаку коэффициента: при положительном знаке точка остаётся на исходном луче, при отрицательном — переходит на противоположный. Такой порядок нужен потому, что гомотетия одновременно задаёт и размер отрезка, и его положение.

При гомотетии расстояния между любыми двумя точками умножаются на |k|. Поэтому если взять два отрезка между соответствующими точками, их длины изменятся одинаково, а величина угла между ними не изменится. Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую, потому что все её точки смещаются по лучам из O с одним и тем же масштабом.

Гомотетия сохраняет форму фигуры, поскольку все длины изменяются в одинаковое число раз, а углы остаются прежними. При |k| > 1 фигура увеличивается, при 0 < |k| < 1 уменьшается, а при k = 1 совпадает с исходной. Если коэффициент отрицателен, форма и размеры меняются так же по модулю, но фигура оказывается по другую сторону от центра.

Подобие можно представить как результат преобразований, сохраняющих форму, в том числе гомотетии. Поэтому у подобных фигур соответствующие углы равны, а отношения соответствующих сторон одинаковы. При сравнении нужно сначала установить, какие вершины и стороны соответствуют друг другу: иначе одно и то же число можно получить ошибочно.

Сравнение свойств гомотетии и подобия

Таблица помогает отличить конкретное преобразование от общего свойства двух фигур. Для гомотетии сначала ищут центр и коэффициент, а для подобия — соответствующие углы и стороны. При работе с площадями нужно использовать квадрат коэффициента, а не сам коэффициент.

Разбор задач

Задача 1

При гомотетии с центром O и коэффициентом 2 точка A находится на расстоянии 3 см от O. Найдём положение и расстояние до образа A′.

1. Модуль коэффициента равен |2| = 2, поэтому расстояние увеличится в 2 раза.
2. Вычисляем: OA′ = 2 · 3 = 6 см.
3. Коэффициент положительный, значит, A′ лежит на том же луче, что и A.

Ответ: точка A′ находится на исходном луче на расстоянии 6 см от O.

Задача 2

В треугольнике ABC отрезок DE параллелен BC, D лежит на AB, E — на AC, AD = 4 см, AB = 10 см, BC = 15 см. Требуется найти DE.

1. Центр подобия можно взять в точке A: лучи AB и AC переходят сами в себя, а отрезок DE параллелен BC.
2. Коэффициент перехода от большого треугольника к малому равен AD/AB = 4/10 = 0,4.
3. Соответствующая сторона изменяется так же: DE = 0,4 · BC = 0,4 · 15 = 6 см.

Ответ: DE = 6 см. Параллельность здесь важна, потому что она обеспечивает равенство соответствующих углов и подобие треугольников ADE и ABC.

Задача 3

Подобные треугольники имеют стороны 6, 8, 10 см и 9, 12, 15 см. Найдём коэффициент подобия от первого треугольника ко второму и отношение площадей.

1. Сопоставляем стороны по порядку: 6 и 9, 8 и 12, 10 и 15.
2. Проверяем отношение: 9/6 = 12/8 = 15/10 = 3/2, значит, коэффициент равен 3/2.
3. Площади относятся как квадрат коэффициента: S₂/S₁ = (3/2)² = 9/4.

Ответ: коэффициент подобия равен 3/2, а отношение площадей первого и второго треугольников равно 4 : 9, или S₂/S₁ = 9/4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что образ точки всегда лежит на том же луче. Так думают, потому что обычно рассматривают положительный коэффициент. Проверьте знак k: при k < 0 образ находится на противоположном луче.

Ошибка: умножать длину на k без учёта знака. Длина не бывает отрицательной, поэтому в формуле используется |k|, а знак описывает направление. После вычисления проверьте, получилось ли неотрицательное расстояние.

Ошибка: приравнивать подобие к равенству фигур. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но их размеры могут отличаться. Сравните коэффициент сторон: при коэффициенте, не равном 1, фигуры не равны.

Ошибка: сравнивать стороны без проверки соответствия вершин. Неверный порядок вершин даёт неправильный коэффициент и может нарушить пропорцию. Запишите пары соответствующих сторон и проверьте, одинаковы ли все полученные отношения.

Связь с другими темами

Для гомотетии и подобия нужны отношения и пропорции: именно они позволяют сравнивать соответствующие отрезки. Также используются параллельность прямых и свойства углов при пересечении параллельных прямых, потому что они помогают доказать равенство углов подобных фигур.

Эти понятия пригодятся в задачах на треугольники, неизвестные расстояния и площади. Гомотетия показывает, как одна фигура получается из другой, а подобие позволяет применять найденные пропорции даже тогда, когда фигуры не расположены относительно одного центра.

Что запомнить

• При гомотетии расстояния от центра умножаются на |k|.
• Знак коэффициента определяет, по какую сторону от центра расположен образ.
• Гомотетия сохраняет величины углов и параллельность прямых.
• У подобных фигур соответствующие углы равны.
• Отношения соответствующих сторон подобных фигур одинаковы.
• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.