§ 40. Виды подобий

Определения и обозначения

Подобие — преобразование плоскости, при котором расстояния между любыми точками изменяются в одно и то же число раз, а углы сохраняются. Иными словами, фигура может стать больше или меньше, но её форма не меняется. Это понятие нужно, чтобы описывать точные увеличенные и уменьшенные копии фигур.

Коэффициент подобия — положительное число, показывающее, во сколько раз изменяются все расстояния при подобии. Его обычно обозначают буквой k: длина каждого образа равна длине исходного отрезка, умноженной на k. Коэффициент помогает узнать, во сколько раз фигура увеличена или уменьшена.

Прямое подобие — подобие, сохраняющее ориентацию фигур и направление обхода их вершин. Если вершины исходной фигуры обходили против часовой стрелки, соответствующие вершины образа будут обходиться так же. Это определение позволяет отличить прямое подобие от преобразования, которое меняет расположение фигуры зеркально.

Обратное подобие — подобие, меняющее ориентацию фигур и направление обхода их вершин. Например, обход против часовой стрелки после такого преобразования становится обходом по часовой стрелке. Термин нужен, чтобы обозначить подобие с зеркальным изменением ориентации, а не просто увеличение или уменьшение.

Как это устроено

При подобии для любых точек A и B их образы A′ и B′ находятся на расстоянии AB · k друг от друга. Поэтому для любых соответствующих отрезков отношение длины образа к длине исходного отрезка равно одному и тому же числу k. Это следует из определения: если расстояния изменяются в одинаковое число раз, то и длины всех соответствующих отрезков получают один общий множитель. Проверять только одну пару отрезков недостаточно — правило должно выполняться для всех пар точек.

Подобие сохраняет величины углов, потому что оно не меняет форму, а только масштаб и, возможно, ориентацию фигуры. Когда отрезок растягивается в k раз, его образ остаётся отрезком; параллельные прямые остаются параллельными, поскольку подобие сохраняет углы между направлениями. Окружность переходит в окружность: все её точки находятся на одинаковом расстоянии от центра, и после преобразования это расстояние умножается на k. Так сохраняются геометрические отношения, хотя длины могут измениться.

Ориентацию удобно понимать как порядок обхода вершин замкнутой фигуры. Если при обходе исходной фигуры и её образа последовательность направления одинакова, подобие прямое; если она меняется на противоположную, подобие обратное. Например, поворот меняет положение фигуры на плоскости, но не переворачивает порядок её вершин. Отражение, напротив, меняет этот порядок, словно фигуру увидели в зеркале.

Движение — преобразование, сохраняющее расстояния; к движениям относятся перенос, поворот и отражение. Если сначала выполнить перенос или поворот, а затем гомотетию с положительным коэффициентом, все расстояния изменятся в k раз, а ориентация сохранится: получится прямое подобие. Гомотетия увеличивает или уменьшает фигуру относительно центра, не переворачивая её. Если добавить отражение, расстояния и углы по-прежнему будут соответствовать условиям подобия, но ориентация изменится — получится обратное подобие.

Чтобы определить вид подобия по рисунку или описанию, сначала отметь, какая вершина соответствует каждой вершине исходной фигуры. Затем обойди вершины по порядку: сравни, в одну ли сторону идут обходы исходной фигуры и её образа. Одинаковое направление означает прямое подобие, противоположное — обратное. Этот способ работает и тогда, когда образ увеличен, уменьшен или повёрнут, потому что масштаб и положение сами по себе не определяют вид подобия.

Сравнение прямого и обратного подобия

Сначала смотри на строки об ориентации и направлении обхода: именно они показывают, прямое подобие или обратное. Строки о расстояниях и углах подтверждают, что оба вида остаются подобиями. Примеры в последней строке помогают представить преобразования, но решающий признак — не название преобразования, а результат для ориентации.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли преобразование подобием, если все расстояния между точками умножаются на 3, а углы сохраняются. Решение: нужно проверить оба условия определения, а затем указать, во сколько раз меняются расстояния. Ориентация в условии не задана, поэтому определить, прямое подобие или обратное, нельзя.

1. По условию каждое расстояние между точками после преобразования в 3 раза больше исходного. Значит, для всех пар точек используется один и тот же множитель.
2. Величины углов сохраняются, поэтому выполнено и второе условие определения подобия. Преобразование является подобием.
3. Коэффициент равен 3, так как расстояния умножаются на 3. Чтобы назвать подобие прямым или обратным, дополнительно нужно узнать, сохраняется ли ориентация.

Ответ: да, это подобие с коэффициентом 3; его вид по условию определить нельзя.

Задача 2. Треугольник ABC переходит в треугольник A′B′C′. Вершины ABC обходятся против часовой стрелки, и вершины A′B′C′ также обходятся против часовой стрелки. Определить вид подобия. Решение основано на том, что направление обхода показывает ориентацию, а совпадение направлений означает её сохранение.

1. Сопоставляем вершины в указанном порядке: A и A′, B и B′, C и C′. Важно не переставлять соответствующие вершины, иначе сравнение будет неверным.
2. Обход исходного треугольника идёт против часовой стрелки. Обход образа тоже идёт против часовой стрелки, значит, направления совпадают.
3. Ориентация сохранилась. Следовательно, подобие прямое; размеры треугольников на этот вывод не влияют.

Ответ: прямое подобие.

Задача 3. Точки A(1; 1), B(3; 1), C(1; 2) переходят соответственно в A′(−1; 1), B′(−3; 1), C′(−1; 2). Нужно найти коэффициент и вид подобия. Сначала сравним длины соответствующих сторон, а затем проверим направление обхода: одни только координаты образа ещё не говорят, прямое подобие или обратное.

1. AB = 2, AC = 1, а BC = √5. У A′B′ = 2, A′C′ = 1, B′C′ = √5: соответствующие длины не изменились, значит, коэффициент подобия k = 1.
2. В исходном треугольнике при обходе A → B → C векторное произведение AB и AC равно 2 · 1 − 0 · 0 = 2, то есть обход против часовой стрелки. Для образа A′ → B′ → C′ получаем −2 · 1 − 0 · 0 = −2, поэтому обход идёт по часовой стрелке.
3. Длины сохранились, но направление обхода изменилось. Это отражение относительно оси y, значит, подобие обратное.

Ответ: коэффициент k = 1, подобие обратное.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любое преобразование, сохраняющее углы, прямым подобием. Сохранение углов — только одно из свойств подобия, а ориентация может измениться, например при отражении. Ошибку допускают, если принимают поворот или перенос за единственные возможные преобразования. Проверь направление обхода соответствующих вершин: если оно поменялось, подобие обратное.

Ошибка: путать коэффициент подобия с отношением площадей. Коэффициент относится к длинам, тогда как площадь зависит от двух измерений, поэтому при коэффициенте k площадь меняется в k² раз. Например, увеличение сторон вдвое даёт увеличение площади в четыре раза, а не в два. Проверь, о каких величинах говорится в задаче, прежде чем составлять отношение.

Ошибка: называть обратным подобием любое подобие с коэффициентом меньше 1. Коэффициент показывает только, увеличилась фигура или уменьшилась, а вид подобия определяется тем, сохранилась ли ориентация. Путаница возникает потому, что слова «обратное» и «уменьшение» кажутся связанными. Для проверки отдельно найди коэффициент, а затем сравни направление обхода вершин.

Ошибка: проверить одну пару отрезков и объявить преобразование подобием. Одна пара показывает отношение только двух длин, но не подтверждает, что тот же коэффициент подходит всем соответствующим отрезкам. Так можно пропустить преобразование, которое по-разному растягивает фигуру в разных направлениях. Сравни несколько пар соответствующих длин и убедись, что для всех получается одно число; также проверь сохранение углов.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать подобия, пригодятся знания о преобразованиях плоскости и движениях: переносе, повороте и отражении. Гомотетия показывает, как менять размер фигуры относительно центра, а свойства подобных фигур помогают сопоставлять углы и отношения отрезков. Позже подобие будет полезно при изучении треугольников и координатного метода: с его помощью можно сравнивать формы, находить неизвестные длины и строить изображения фигур. Оно также помогает понимать, как устроены масштабные чертежи и копии предметов.

Что запомнить

• Подобие сохраняет углы и умножает все расстояния на один коэффициент.
• Коэффициент подобия — положительное число.
• Прямое подобие сохраняет ориентацию фигуры.
• Обратное подобие меняет ориентацию фигуры.
• Отражение является примером преобразования, меняющего ориентацию.
• Вид подобия определяется ориентацией, а не величиной коэффициента.
• Площади при подобии изменяются в квадрат коэффициента.