§ 41. Теоремы о пропорциональных отрезках

Определения и обозначения

Отношение отрезков — это отношение их длин, то есть частное одной длины и другой. Например, для отрезков длиной a и b оно записывается как a/b. Сравнивать длины нужно в одинаковых единицах, а отношение помогает увидеть, во сколько раз один отрезок больше другого.

Пропорциональными называют отрезки, отношения длин которых равны. Для четырёх отрезков a, b, c и d это записывают так: a/b = c/d. Такая запись показывает, какие пары длин сравниваются, и позволяет найти неизвестный отрезок.

Теорема о пропорциональных отрезках утверждает: если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то они отсекают на этих сторонах пропорциональные соответствующие отрезки. Значит, отрезок от вершины до первой параллельной прямой на одной стороне можно сравнить с таким же отрезком на другой. Теорема нужна для вычислений и для доказательства параллельности.

Соответственными называют отрезки, которые занимают одинаковое положение на двух сторонах угла. Например, от вершины до ближней параллельной прямой соответствует отрезок от вершины до неё же на другой стороне. Промежуток между двумя соседними параллельными прямыми также сравнивают с промежутком между этими прямыми на другой стороне.

Как это устроено

Представим угол с вершиной O и две прямые, параллельные друг другу и пересекающие обе стороны угла. На первой стороне отметим точки A и B, на второй — C и D: A и C лежат на ближней прямой, B и D — на дальней. Тогда OA соответствует OC, а AB соответствует CD, потому что каждая пара ограничена вершиной и одной и той же параллельной прямой либо двумя теми же параллельными. Такое обозначение сразу помогает не смешать отрезки при составлении пропорции.

Проведём отрезки AC и BD по параллельным прямым. Получившиеся треугольники OAC и OBD имеют общий угол при O. Кроме того, из-за параллельности прямых соответствующие углы при пересечении сторон угла равны: их стороны лежат на параллельных прямых и одних и тех же лучах. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны. Поэтому OA/OB = OC/OD: отрезки от вершины до ближней прямой относятся к соответствующим отрезкам от вершины до дальней прямой. Из этого равенства можно получить и отношение промежутков: AB/CD = OA/OC. Главное — не менять порядок сравнения: если в числителе стоит отрезок на первой стороне, то в знаменателе должно стоять соответствующее ему положение на второй стороне.

Тот же результат применяют внутри треугольника. Пусть M лежит на AB, N — на AC, а MN параллельна BC. Тогда треугольники AMN и ABC подобны: у них общий угол A, а углы при M и B, при N и C равны из-за параллельности. Из подобия следует AM/AB = AN/AC; если сравнить части сторон, получим AM/MB = AN/NC. Так можно найти неизвестную часть одной стороны, используя известные длины на другой.

Рассмотрим обратное рассуждение. Если точки M и N делят стороны угла так, что AM/MB = AN/NC, то отрезок MN параллелен BC в соответствующем треугольнике ABC. Чтобы понять почему, проведём через M прямую, параллельную BC, и назовём её пересечение со стороной AC точкой N′. По прямой теореме AM/MB = AN′/N′C. По условию это отношение равно AN/NC, а точка, делящая отрезок в заданном отношении, единственна; значит, N′ совпадает с N, и MN ∥ BC.

Теорема о пропорциональных отрезках и её применение

Сначала выберите строку, которая описывает условие задачи, а затем сопоставьте каждый отрезок с соответствующим ему. В треугольнике полезно отдельно отметить, где используются целые стороны, а где — их части. Так проще выбрать нужную пропорцию и избежать подмены одной длины другой.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне отрезок от вершины до первой прямой равен 3 см, а промежуток между прямыми — 5 см. Соответствующий первый отрезок на другой стороне равен 6 см. Найдём промежуток между прямыми на этой стороне.

1. Обозначим неизвестный промежуток через x. По теореме отношение ближнего отрезка к промежутку одинаково на обеих сторонах угла.
2. Составим пропорцию: 3/5 = 6/x. В ней 3 и 6 — соответствующие отрезки от вершины до первой прямой, а 5 и x — промежутки между прямыми.
3. Перемножим крест-накрест: 3x = 30, откуда x = 10 см.

Ответ: 10 см. Проверка: на второй стороне соответствующие отрезки относятся как 6/10, то есть так же, как 3/5.

Задача 2. В треугольнике ABC точки M и N лежат соответственно на AB и AC, причём MN ∥ BC. Дано AM = 4 см, MB = 6 см, AN = 5 см. Требуется найти NC.

1. Поскольку MN параллельна стороне BC, части сторон AB и AC пропорциональны: AM/MB = AN/NC.
2. Подставим известные длины: 4/6 = 5/NC. Неизвестная NC соответствует MB, а AM соответствует AN.
3. Перемножим крест-накрест: 4NC = 30, поэтому NC = 7,5 см.

Ответ: 7,5 см. Здесь искали именно часть NC, поэтому длину всей стороны AC вычислять не требовалось.

Задача 3. В треугольнике ABC точки M и N лежат на AB и AC. Даны AM = 6 см, MB = 9 см, AN = 8 см, NC = 12 см. Проверим, параллельны ли MN и BC.

1. Для обратной теоремы сравним части сторон в одинаковом порядке: AM/MB и AN/NC.
2. Вычислим отношения: 6/9 = 2/3 и 8/12 = 2/3. Они равны, значит, части сторон пропорциональны.
3. По обратной теореме отрезок MN параллелен BC. Для вывода важны обе пары соответствующих частей, а не только совпадение случайно выбранных отношений.

Ответ: MN ∥ BC.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать отрезки, которые занимают разное положение на сторонах угла. Обычно это происходит, если при чтении чертежа не отметить порядок точек от вершины. Проверьте себя: сопоставьте сначала ближайшие к вершине отрезки, затем следующие за ними части.

Вторая ошибка — переставить члены пропорции, например сравнить отрезок от вершины на одной стороне с промежутком между прямыми на другой. Так равенство отношений теряет геометрический смысл. Перед вычислениями подпишите пары одинаковым цветом или буквами и убедитесь, что в каждой дроби стоят соответствующие отрезки.

Третья ошибка — считать достаточным равенство отношений, не проверив, какие именно отрезки в них вошли. Равенство двух случайных отношений не доказывает параллельность. Для обратной теоремы сравнивают соответствующие части одних и тех же сторон, например AM/MB и AN/NC.

Четвёртая ошибка — вместо нужной части стороны подставить всю сторону или наоборот. Например, в пропорции AM/MB нельзя заменить MB на AB без изменения самой пропорции. Проверьте обозначения на чертеже и, если известна вся сторона, выразите часть отдельно: AC = AN + NC.

Связь с другими темами

Перед изучением теоремы полезно уметь находить отношения длин, составлять пропорции и решать уравнения вида a/b = c/x. Понадобятся также признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых, поскольку они объясняют равенство углов в доказательстве. Теорема опирается на подобие треугольников и помогает решать задачи на длины отрезков и доказательство параллельности.

Что запомнить

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
• В пропорции сравнивают только соответствующие отрезки.
• Прямую, параллельную стороне треугольника, можно использовать для составления пропорции частей двух других сторон.
• Пропорциональность отрезков на сторонах угла позволяет по обратной теореме сделать вывод о параллельности.
• Перед вычислением полезно обозначить на чертеже все нужные отрезки.