"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Биссектриса угла треугольника не только делит угол на две равные части, но и по-особому делит противоположную сторону. Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то BD/DC = AB/AC: части стороны BC относятся так же, как прилежащие стороны. Это свойство помогает находить неизвестные отрезки и проверять, является ли проведённый отрезок биссектрисой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла треугольника — отрезок, который выходит из вершины, делит угол пополам и заканчивается на противоположной стороне. Например, если отрезок AD делит угол A треугольника ABC на равные углы и точка D лежит на BC, то AD — биссектриса. Это определение помогает отличить биссектрису от просто проведённого внутри треугольника отрезка.
Противоположная сторона — сторона треугольника, не содержащая вершину рассматриваемого угла. Для угла A треугольника ABC это сторона BC: точки A на ней нет. Это название позволяет однозначно понять, какую сторону пересекает биссектриса из выбранной вершины.
Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, — части этой стороны, прилежащие к двум другим сторонам треугольника. Если D лежит на BC, такими частями являются BD и DC: первая соседствует со стороной AB, вторая — с AC. Это соответствие нужно сохранить, записывая пропорцию.
Теорема о биссектрисе угла треугольника устанавливает отношение длин этих частей к длинам прилежащих сторон. Для AD, проведённой к BC, верно BD/DC = AB/AC. Теорема помогает находить неизвестные длины, даже если саму длину биссектрисы AD не знают.
Обозначим треугольник ABC и проведём биссектрису угла A до пересечения со стороной BC в точке D. Тогда AD делит исходный угол на равные углы BAD и DAC. На противоположной стороне возникают два отрезка — BD и DC; именно их длины понадобятся в соотношении. Сам отрезок AD в пропорцию не входит.
Свойство биссектрисы записывается так: BD/DC = AB/AC. Иными словами, части BC относятся так же, как прилежащие стороны угла A. Порядок букв здесь связан с соседством: BD соответствует AB, а DC — AC. Если поменять местами части слева, нужно так же поменять соответствующие стороны справа, иначе получится другое отношение.
Обосновать эту пропорцию можно с помощью площадей двух треугольников. У треугольников ABD и ACD основания BD и DC лежат на одной прямой BC, а высота, опущенная из A к этой прямой, у них общая. Поэтому отношение площадей ABD и ACD равно отношению оснований: SABD/SACD = BD/DC. Здесь S обозначает площадь треугольника.
Те же площади можно выразить через стороны AD и AB или AC и синус угла между ними. По формуле площади S = ½ab sin γ получаем SABD = ½ · AB · AD · sin ∠BAD, а SACD = ½ · AC · AD · sin ∠DAC. Углы BAD и DAC равны, поэтому общие множители сокращаются, и отношение площадей равно AB/AC. Сравнив два выражения для одного отношения площадей, получаем BD/DC = AB/AC.
Свойство применяют, когда известны две прилежащие стороны и требуется разделить третью в нужном отношении, либо когда известны части противоположной стороны и нужно найти сторону треугольника. Если отрезок уже проведён, соотношение можно проверить в обратном направлении. Для этого важно знать, что точка D находится именно на BC, а сравниваются соответствующие отрезки и стороны.
| Элемент | Обозначение | Соотношение |
|---|---|---|
| Биссектриса угла A | AD | AD делит ∠A пополам |
| Прилежащие стороны угла A | AB, AC | AB относится к AC |
| Части противоположной стороны | BD, DC | BD относится к DC |
| Основное свойство | AD — биссектриса | BD/DC = AB/AC |
Сначала найдите на чертеже вершину угла и обозначьте противоположную сторону. Затем сопоставьте BD с AB, а DC с AC и запишите основную пропорцию. Если неизвестна одна часть, используйте также равенство BD + DC = BC.
В треугольнике ABC биссектриса AD пересекает BC в точке D. AB = 6, AC = 9, BC = 10. Найдите BD и DC. Нужно разделить BC в отношении прилежащих сторон AB и AC, а не искать длину самой биссектрисы.
Ответ: BD = 4, DC = 6.
Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BD = 4 и DC = 6. Если AB = 8, найдите AC. Здесь известны обе части стороны и одна из прилежащих сторон, поэтому можно составить пропорцию и найти оставшуюся длину.
Ответ: AC = 12.
В треугольнике ABC точка D лежит на BC, BD = 5, DC = 8, AB = 7. Определите, является ли AD биссектрисой угла A, если AC = 11,2. Чтобы проверить отрезок, сравним отношение частей BC с отношением прилежащих сторон.
Ответ: да, AD — биссектриса угла A.
Переставляют отрезки в пропорции: пишут BD/DC = AC/AB. Это случается, когда части стороны не сопоставляют с соседними сторонами. Проверка проста: BD прилегает к AB, а DC — к AC, значит, в правильной записи BD/DC соответствует AB/AC.
Считают, что биссектриса всегда делит противоположную сторону пополам. Такое возможно только при равных прилежащих сторонах, иначе теорема даёт другое отношение частей. Перед тем как принять BD = DC, сравните AB и AC или подставьте значения в пропорцию.
Путают длину биссектрисы AD с частями стороны BD и DC. Ошибка появляется из-за того, что все эти отрезки выходят из точки D или связаны с ней, но в теорему входят только части противоположной стороны. Проверьте обозначения: AD соединяет вершину с точкой пересечения, а BD и DC лежат на BC.
Применяют обратное свойство, не проверив положение точки D. Одного равенства отношений недостаточно, если отрезок не проведён из A к точке на противоположной стороне BC. Сначала проверьте, что D лежит на BC и отрезки BD, DC действительно образуют эту сторону, а затем сравнивайте отношения.
Для понимания теоремы нужны определение биссектрисы, умение работать с отношениями и пропорциями, а также формула площади треугольника. Площади помогают объяснить, почему части стороны относятся как прилежащие стороны: сначала их отношение находят через общую высоту, а затем выражают через равные углы биссектрисы. Поэтому полезно уметь сокращать дроби и решать пропорции.
Свойство используют в задачах на отношения сторон и отрезков треугольника. Оно связано с подобием треугольников и другими замечательными линиями треугольника: разные геометрические свойства позволяют находить неизвестные элементы через отношения, углы и площади. Освоив пропорцию, легче переходить к более сложным задачам, где применяются сразу несколько таких идей.
Как записать свойство биссектрисы угла треугольника?
Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то BD/DC = AB/AC. Части стороны BC относятся как прилежащие к ним стороны AB и AC.
Почему отрезки на противоположной стороне пропорциональны прилежащим сторонам?
Треугольники ABD и ACD имеют основания BD и DC на одной прямой и общую высоту из A, поэтому их площади относятся как BD/DC. С другой стороны, равные углы BAD и DAC и общая сторона AD показывают, что площади относятся как AB/AC.
Делит ли биссектриса противоположную сторону пополам?
Не обязательно: она делит сторону пропорционально двум прилежащим сторонам. Равные части получаются, если эти стороны равны.
Как найти части стороны, если известны длины двух прилежащих сторон?
Запишите отношение частей противоположной стороны как отношение прилежащих сторон. Затем разделите длину всей стороны в найденном отношении.
Как проверить, является ли проведённый отрезок биссектрисой?
Убедитесь, что его конец D лежит на противоположной стороне BC, и сравните BD/DC с AB/AC. Если отношения равны, то по обратному свойству AD — биссектриса угла A.
§ 42. Свойство биссектрисы угла треугольника
