§ 43. О признаках подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Обозначают это так: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Подобие показывает, что фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером.

Коэффициент подобия — общее отношение соответствующих сторон: k = AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁. Если k > 1, первый треугольник увеличен относительно второго, а если 0 < k < 1, уменьшен. Это число помогает переходить от известных сторон одного треугольника к сторонам другого.

Первый признак подобия: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Достаточно проверить именно две пары углов, потому что третий угол определяется автоматически.

Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, треугольники подобны. Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, треугольники подобны. Эти признаки позволяют доказать подобие без полного сравнения всех углов.

Как это устроено

Равенство двух углов достаточно для подобия, потому что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Например, если у двух треугольников равны углы 48° и 72°, то третий угол в каждом равен 60°. Значит, совпадают все три пары соответствующих углов, а стороны имеют одинаковое отношение.

Во втором признаке угол должен быть заключён между пропорциональными сторонами не случайно. Он задаёт взаимное положение этих сторон: известно не только, каковы их длины, но и под каким углом они расходятся. Поэтому можно установить равенство остальных соответствующих углов, а затем и пропорциональность третьих сторон.

При третьем признаке сравнивают все три пары сторон. Если отношения равны, один треугольник получается из другого увеличением или уменьшением в одном масштабе. Единый масштаб не позволяет изменить форму только у одной части фигуры, поэтому соответствующие углы оказываются равными.

Соответствие вершин и сторон выбирают последовательно. Сначала сопоставляют равные углы или стороны, затем записывают названия треугольников в одинаковом порядке: первой вершине одного треугольника соответствует первая вершина другого. После этого проверяют нужные отношения, следя, чтобы сторона напротив соответствующего угла не была перепутана.

Признаки особенно полезны тогда, когда вычислять все элементы невозможно или не нужно. Достаточно найти две пары равных углов, две пропорциональные стороны с углом между ними или три пропорциональные стороны. После доказательства подобия можно использовать коэффициент для нахождения неизвестных отрезков и периметров.

Признаки подобия треугольников

Пользуйтесь таблицей как выбором способа доказательства: найдите в условии известные углы и стороны. Затем проверьте не просто наличие нужных величин, а их соответствие и порядок. Если выполнено хотя бы одно достаточное условие, можно заключить, что треугольники подобны.

Разбор задач

Задача 1

У двух треугольников по два угла равны: 48° и 72°. Требуется доказать их подобие. Известные углы можно сопоставить попарно, поэтому подходит первый признак.

1. Запишем равенства соответствующих углов: ∠A = ∠A₁ = 48°, ∠B = ∠B₁ = 72°.
2. При необходимости найдём третьи углы: 180° − 48° − 72° = 60°. Они также равны.
3. По первому признаку заключаем: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники подобны по двум углам.

Задача 2

Стороны, заключающие равные углы, равны соответственно 4 и 6, 5 и 7,5. Нужно доказать подобие и найти коэффициент. Сначала проверим, относятся ли пары сторон одинаково.

1. Вычислим отношения: 4/6 = 2/3 и 5/7,5 = 2/3.
2. По условию углы между этими сторонами равны, а сами стороны пропорциональны. Значит, выполнен второй признак подобия.
3. Если первым назван треугольник со сторонами 4 и 5, то k = 2/3. Обратное отношение для второго треугольника к первому равно 3/2.

Ответ: треугольники подобны; коэффициент первого к второму равен 2/3.

Задача 3

Стороны одного треугольника равны 6, 8 и 10, а другого — 9, 12 и 15. Нужно доказать подобие и найти отношение периметров. Сопоставим стороны по возрастанию, чтобы не нарушить соответствие.

1. Проверим пропорции: 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3.
2. Все три пары сторон пропорциональны, поэтому треугольники подобны по третьему признаку.
3. Периметры равны 24 и 36, а их отношение 24/36 = 2/3. Оно совпадает с коэффициентом подобия.

Ответ: треугольники подобны, отношение периметров первого и второго равно 2/3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать достаточным равенство только одного угла. Один угол ещё не определяет форму треугольника, поэтому для первого признака нужны две пары равных углов. Проверьте, записаны ли два равенства, а не одно.

Вторая ошибка — применять второй признак, когда равный угол не заключён между пропорциональными сторонами. Ученик видит подходящий угол и две стороны, но не проверяет их положение. Мысленно отметьте стороны по обе стороны от угла: именно они должны образовывать пропорциональную пару.

Третья ошибка — сопоставлять стороны в разном порядке. Тогда одинаковые отношения могут исчезнуть, а вывод окажется неверным. Запишите вершины в соответствующем порядке и сравнивайте сторону напротив одинаковых углов.

Четвёртая ошибка — путать коэффициент с обратным отношением. Число зависит от того, какой треугольник назван первым. Перед вычислением подпишите числитель и знаменатель: сторона первого треугольника делится на соответствующую сторону второго.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны сумма углов треугольника и признаки равенства треугольников. Подобие используют при нахождении неизвестных сторон, отношений периметров и площадей, а также в доказательствах. Оно встречается в задачах с параллельными прямыми и при изучении прямоугольных треугольников.

Что запомнить

• Для подобия достаточно выполнить хотя бы один из трёх признаков.
• По двум равным углам треугольники подобны.
• Во втором признаке равный угол должен быть заключён между пропорциональными сторонами.
• В третьем признаке пропорциональны все три пары соответствующих сторон.
• Соответствие вершин определяет, какие стороны считать соответствующими.
• Отношение соответствующих сторон подобных треугольников постоянно.