§ 44. Подобие треугольников по двум равным углам

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, фигуры имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут быть разными. Это понятие нужно, чтобы переносить свойства одного треугольника на другой и находить неизвестные длины.

Соответственные углы — углы двух треугольников, которые сопоставляют друг другу; соответствие определяют по равенству. Например, если ∠A = ∠D, вершины A и D соответствуют. Такое сопоставление помогает правильно продолжить запись и не перепутать стороны.

Соответственные стороны — стороны, лежащие напротив соответствующих равных углов. Их удобно определять после того, как установлено соответствие вершин. Это нужно, чтобы сравнивать именно те стороны, которые пропорциональны при подобии.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон подобных треугольников. Если стороны первого треугольника делят на стороны второго, все отношения записывают именно в таком порядке. Коэффициент показывает, во сколько раз длины одной фигуры отличаются от длин другой.

Как это устроено

Признак подобия по двум углам формулируется так: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны. Причина в том, что равенство двух углов уже ограничивает форму треугольника: третье направление сторон также определяется этими углами. Поэтому для вывода о подобии достаточно проверить две пары углов.

Равенство третьих углов следует из суммы углов треугольника. В каждом треугольнике эта сумма равна 180°, поэтому третий угол можно найти, вычитая два известных из 180°. Если известные углы попарно равны, вычитание одинаковых величин даёт одинаковые третьи углы.

Равные углы определяют, какие вершины нужно сопоставить. Допустим, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E; тогда A соответствует D, B соответствует E, а оставшиеся вершины C и F соответствуют друг другу. После этого соответствующие стороны определяются однозначно: например, AB соответствует DE, а AC — DF. Это предотвращает ошибку, когда в пропорцию случайно включают стороны, не занимающие одинакового положения.

Идею доказательства можно увидеть с помощью параллельной прямой. Через вершину одного треугольника проводят прямую, параллельную его стороне, и получают меньший треугольник; из-за параллельности его углы равны углам исходного треугольника. Этот треугольник сравнивают со вторым по двум углам, а параллельность даёт равенство соответствующих отрезков или их пропорциональность. Так получают пропорции сторон исходных треугольников и обосновывают признак.

Признак позволяет доказать подобие без предварительного измерения сторон: достаточно сравнить углы. После этого можно использовать пропорциональность соответствующих сторон для решения задачи. Если известны три стороны, а четвёртая неизвестна, составляют равенство отношений и находят неизвестную величину.

Признак подобия по двум углам

Сначала найдите в таблице условие, которое дано в задаче, а затем проследите, какой вывод из него следует. Равенство двух пар углов позволяет перейти к подобию, а подобие — к пропорциональности сторон. Перед записью пропорции отдельно проверьте, какие именно стороны соответствуют друг другу.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и DEF ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. Нужно установить, подобны ли треугольники, и указать соответствие вершин. Сравним данные углы, не опираясь только на порядок букв в названиях. По признаку двух углов треугольники подобны.

1. ∠A равен ∠D, поэтому вершины A и D соответствуют.
2. ∠B равен ∠E, поэтому вершины B и E соответствуют.
3. Оставшиеся вершины C и F также соответствуют; запись подобия: △ABC ∼ △DEF.

Ответ: треугольники подобны; соответствие вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Задача 2. Даны ∠A = 42°, ∠B = 71°, ∠D = 42°, ∠E = 67°. Проверим подобие треугольников ABC и DEF и найдём недостающие углы. Недостаточно увидеть одну пару равных углов: нужно проверить ещё одну пару, используя сумму углов. Это покажет, совпадает ли форма треугольников.

1. В △ABC: ∠C = 180° − 42° − 71° = 67°.
2. В △DEF: ∠F = 180° − 42° − 67° = 71°.
3. Получаем ∠A = ∠D = 42° и ∠B = ∠F = 71°, значит треугольники подобны; ∠C = ∠E = 67°.

Ответ: ∠C = 67°, ∠F = 71°; треугольники подобны, соответствие A ↔ D, B ↔ F, C ↔ E.

Задача 3. △ABC ∼ △DEF, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E; AB = 6, DE = 9, AC = 8. Найдём DF. По равным углам сторона AB соответствует DE, а AC соответствует DF. Запишем отношения сторон в одном порядке — сначала сторона ABC, затем соответствующая сторона DEF.

1. Коэффициент перехода от △ABC к △DEF равен DE/AB = 9/6 = 1,5.
2. Тогда DF/AC = 1,5, поэтому DF = 8 · 1,5 = 12.

Ответ: DF = 12.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сопоставлять вершины только по их месту в записи △ABC и △DEF. Так можно получить неверную пару сторон, потому что порядок букв сам по себе не доказывает равенство углов. Сначала проверьте равные углы и подпишите соответствующие вершины, затем составьте пропорцию.

Вторая ошибка — считать достаточной одну пару равных углов. Один равный угол ещё не определяет форму треугольника, поэтому признак не срабатывает. Проверьте, есть ли вторая пара равных углов; третья пара после этого следует из суммы 180°.

Третья ошибка — ожидать, что соответствующие стороны при подобии равны. Подобные треугольники могут отличаться по размеру, поэтому стороны обычно не равны, а пропорциональны. Для самопроверки сравните отношения нескольких соответствующих сторон: они должны быть одинаковыми.

Четвёртая ошибка — поменять местами числа в коэффициенте подобия и использовать отношение в другом порядке. Например, отношение сторон большего треугольника к меньшему нельзя смешивать с отношением меньшего к большему. Перед вычислением запишите соответствия сторон и сохраняйте выбранный порядок во всей пропорции.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°, уметь пользоваться свойствами параллельных прямых и понимать пропорцию. Свойства параллельных прямых помогают объяснить равенство углов в доказательстве, а сумма углов — найти третий угол. Пропорции связывают подобие с вычислением длин.

Дальше подобие пригодится в задачах на отношения отрезков, высоты и периметры треугольников. Оно также помогает доказывать геометрические утверждения: если установлено подобие, можно использовать пропорциональность соответствующих элементов. Поэтому важно верно определить соответствие вершин до вычислений.

Что запомнить

• Две пары равных углов достаточны для подобия треугольников.
• Третья пара углов при этом тоже равна.
• Соответствие вершин устанавливают по равным углам.
• Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Отношение соответствующих сторон называют коэффициентом подобия.
• Перед составлением пропорции нужно точно определить соответствующие стороны.