§ 45. Подобие треугольников по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, один треугольник можно увеличить или уменьшить, не меняя его форму, чтобы получить другой. Это понятие позволяет переносить сведения о форме с одного треугольника на другой. По подобию также можно находить неизвестные длины.

Соответственные стороны — стороны двух треугольников, лежащие напротив равных углов. Например, если вершины A и D соответствуют друг другу, а B и E — друг другу, то стороне AB соответствует DE. Сопоставлять стороны нужно в одном и том же порядке, иначе пропорция может оказаться неверной. Такое соответствие понадобится и при записи подобия.

Угол между двумя сторонами — угол, который образуют эти стороны при встрече в одной вершине. В признаке подобия рассматривают именно угол между выбранными пропорциональными сторонами. Например, стороны AB и AC образуют угол A. Это уточнение помогает не спутать нужный угол с другим равным углом треугольника.

Признак подобия по двум сторонам и углу между ними утверждает: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. Условие удобно, когда известны две стороны и угол между ними, но остальные элементы пока не найдены. Оно позволяет доказать подобие без проверки всех трёх углов и сторон. После этого можно использовать пропорциональность остальных соответствующих сторон.

Как это устроено

Сначала в каждом треугольнике выбирают по две стороны и выясняют, какой угол образован этой парой. Затем проверяют, равны ли выбранные углы. Это необходимо потому, что признак связывает не любые две стороны и не любой угол, а именно стороны, прилежащие к равным углам. Если угол расположен между другой парой сторон, условие не соблюдено.

Следующий шаг — сопоставить выбранные стороны одного треугольника со сторонами другого. Для них проверяют равенство отношений: если сторонам a и b первого треугольника соответствуют стороны c и d второго, то требуется a/c = b/d. Порядок в обеих дробях должен быть одинаковым: нельзя сравнить первую сторону первого треугольника с одной стороной второго, а вторую — с другой, не обосновав соответствие. Удобно сопоставлять стороны по их положению относительно равных углов.

Почему при этом получается подобие? Равные углы задают одинаковое раскрытие между выбранными сторонами, а равное отношение длин означает, что обе стороны изменились в одинаковое число раз. Значит, один треугольник можно мысленно увеличить или уменьшить с одним коэффициентом, сохранив угол между этими сторонами. Для третьей стороны при таком изменении тоже получается один и тот же масштаб, поэтому треугольники имеют одинаковую форму.

По равенству углов между сторонами и пропорциональности этих сторон можно установить равенство остальных соответствующих углов. Поэтому у треугольников совпадают соответствующие углы, а длины всех соответствующих сторон относятся одинаково. Именно эти свойства и составляют определение подобных треугольников. Так работает признак: он позволяет сделать вывод о подобии по части известных данных.

В доказательстве нужно явно указать, какие вершины и стороны соответствуют друг другу. Например, при равенстве ∠A и ∠D вершины A и D соответствуют, а стороны, образующие эти углы, сопоставляют по равным отношениям. Затем записывают пропорцию в едином порядке и формулируют вывод о подобии треугольников. Порядок букв в записи △ABC ∼ △DEF означает, что A соответствует D, B — E, C — F.

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

В таблице собраны условия, которые проверяют, и вывод, который из них следует. Сначала найди углы между выбранными сторонами, затем проверь равенство отношений именно соответствующих сторон. Если оба условия выполнены, укажи соответствие вершин и запиши подобие в правильном порядке.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF: AB = 6, AC = 9, DE = 4, DF = 6, ∠A = ∠D. Докажем, что треугольники подобны. Стороны AB и AC образуют угол A, а DE и DF — угол D, поэтому даны именно углы между выбранными сторонами. Сравним стороны, расположенные у равных углов.

1. Сопоставим AB стороне DE, а AC стороне DF: обе пары прилежат к равным углам A и D.

2. Проверим отношения: AB/DE = 6/4 = 1,5, а AC/DF = 9/6 = 1,5. Значит, выбранные стороны пропорциональны.

3. Так как ∠A = ∠D, выполнены оба условия признака подобия. Вершины A и D соответствуют друг другу.

Ответ: △ABC ∼ △DEF, причём A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Задача 2

В треугольниках KLM и PQR равны углы K и P; KL = 8, KM = 12, PQ = 10, PR = 15. Требуется доказать подобие и найти коэффициент подобия первого треугольника ко второму. Сначала важно связать данные стороны с углами: KL и KM прилежат к ∠K, а PQ и PR — к ∠P. Значит, сравнивать нужно именно эти две пары.

1. Сопоставим KL стороне PQ, а KM стороне PR, поскольку они занимают одинаковое положение около равных углов.

2. Проверим отношения: KL/PQ = 8/10 = 0,8, KM/PR = 12/15 = 0,8. Отношения совпали, следовательно, стороны пропорциональны.

3. Углы между этими сторонами равны, поэтому по признаку △KLM ∼ △PQR. Соответствие вершин: K ↔ P, L ↔ Q, M ↔ R.

4. Коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен отношению стороны первого к соответствующей стороне второго: k = KL/PQ = 8/10 = 0,8.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия первого ко второму равен 0,8.

Задача 3

У первого треугольника стороны 5 см и 8 см образуют угол, равный углу между сторонами 7,5 см и 12 см второго треугольника. Третья сторона первого треугольника равна 10 см. Найдём соответствующую ей сторону второго. Прежде чем искать длину, нужно доказать подобие и определить, во сколько раз изменился размер.

1. Сопоставим 5 см стороне 7,5 см, а 8 см стороне 12 см. Отношения равны: 7,5/5 = 1,5 и 12/8 = 1,5.

2. Углы между выбранными сторонами равны по условию. Следовательно, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

3. Коэффициент перехода от первого треугольника ко второму равен 1,5. Значит, соответствующая третья сторона второго треугольника в 1,5 раза длиннее третьей стороны первого.

4. Вычислим длину: 10 · 1,5 = 15 см.

Ответ: соответствующая сторона второго треугольника равна 15 см.

Типичные ошибки

Сравнивают стороны в разном порядке и получают неверную пропорцию. Обычно так бывает, если сопоставление сторон не установили заранее. Проверь себя: каждая сторона в числителе должна соответствовать стороне в знаменателе по расположению у равных углов.

Берут равный угол, который не заключён между выбранными сторонами. Путают его с нужным углом, потому что в условии часто указано несколько углов или равенство углов не связано явно со сторонами. Проверь вершину: обе выбранные стороны должны выходить из неё, иначе признак не применим.

Считают, что равенства двух отношений сторон достаточно для подобия. Это условие кажется убедительным, потому что длины уже имеют одинаковый масштаб, но без равенства угла форма треугольника может быть другой. Для самопроверки отдельно запиши оба условия признака: пропорциональность сторон и равенство углов между ними.

Записывают подобие треугольников с неверным порядком вершин. Ошибка возникает, когда буквы ставят по привычке, не проверив соответствие углов. Сверь каждую позицию: первая вершина должна соответствовать первой, вторая — второй, третья — третьей; затем убедись, что пропорции сторон согласуются с этой записью.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать определение подобных треугольников, свойства пропорции и обозначения равных углов и сторон. Навык составлять пропорции помогает не перепутать соответствующие элементы и правильно вычислять длины. Сам признак применяют для доказательства подобия и поиска неизвестных сторон. Позже подобие используют в задачах на отношения отрезков и измерения, когда прямое измерение выполнить трудно.

Что запомнить

• Нужны две пары соответствующих сторон.
• Отношения выбранных пар сторон должны быть равны.
• Углы между этими сторонами должны быть равны.
• Равенства только двух отношений сторон недостаточно.
• Соответствие сторон и вершин следует устанавливать до записи подобия.
• После доказательства подобия можно использовать пропорциональность всех соответствующих сторон.