§ 46. Подобие треугольников по пропорциональности трех сторон

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иными словами, один треугольник можно получить из другого увеличением или уменьшением всех размеров в одно и то же число раз. Это понятие позволяет сравнивать форму фигур, даже если их размеры различны.

Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон двух подобных треугольников. Например, для порядка ABC и DEF коэффициент можно записать так: k = AB/DE. Порядок треугольников нужно сохранять, потому что при перестановке получится обратное отношение 1/k.

Признак подобия треугольников по трём сторонам утверждает: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, то эти треугольники подобны. Поэтому для доказательства достаточно правильно сопоставить стороны и установить равенство трёх отношений. Равные углы отдельно измерять не требуется.

Как это устроено

Соответствие вершин задают порядком букв: запись ΔABC ~ ΔDEF означает A↔D, B↔E, C↔F. Поэтому сторонам AB, BC и AC соответствуют DE, EF и DF. Такой порядок нужен, чтобы не сравнить сторону одного треугольника с неподходящей стороной другого.

После установления соответствия составляют три отношения: AB/DE, BC/EF и AC/DF. Затем вычисляют или преобразуют каждую дробь и проверяют, имеют ли они одно значение. Если все три отношения равны, стороны изменяются одним и тем же множителем, а значит, выполнено условие признака.

Почему этого достаточно? Три стороны определяют форму треугольника: если их длины изменены в одинаковое число раз, треугольник сохраняет свои углы. Поэтому соответствующие углы равны, а треугольники имеют одинаковую форму и являются подобными.

Общее значение отношений называют коэффициентом подобия. Если k = 2, соответствующие стороны второго треугольника в два раза больше сторон первого при выбранном порядке. Если k = ½, первый треугольник в два раза меньше второго; при обратном порядке коэффициент будет равен 2.

Признак можно применять и в обратной ситуации, когда длины заданы числами. Сначала выбирают соответствующие пары, затем проверяют три отношения и записывают вывод по признаку. Если хотя бы одно отношение отличается, подобие по этим сторонам доказать нельзя.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала установите соответствие, а затем подставьте длины в три отношения. Последняя строка появляется только после проверки всех трёх равенств. Общее значение отношений можно сразу назвать коэффициентом подобия.

Разбор задач

Задача 1

У треугольников стороны равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Нужно доказать подобие и найти коэффициент. Сопоставим стороны по возрастанию: 3↔6, 4↔8, 5↔10.

1. Составим отношения сторон первого треугольника ко второму: 3/6 = ½, 4/8 = ½, 5/10 = ½.
2. Все три отношения равны, значит, выполнено условие признака подобия по трём сторонам.
3. Общее значение отношений и есть коэффициент при порядке «первый треугольник ко второму»: k = ½.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия первого ко второму равен ½. При обратном порядке коэффициент равен 2.

Задача 2

Стороны одного треугольника равны 5, 7 и 9, а соответствующие стороны другого — 10, 14 и x. Треугольники подобны, поэтому все соответствующие стороны связаны одним коэффициентом.

1. По первой паре находим коэффициент второго треугольника к первому: 10/5 = 2.
2. Проверка по второй паре даёт 14/7 = 2, значит, выбранный коэффициент согласуется с условием.
3. Третья соответствующая сторона равна 9 · 2 = 18, поэтому x = 18.

Ответ: x = 18. Второй треугольник в два раза больше первого по всем соответствующим сторонам.

Задача 3

Стороны ABC равны 6, 9 и 12, а стороны DEF — 8, 12 и 16. Возьмём порядок AB = 6, BC = 9, AC = 12 и DE = 8, EF = 12, DF = 16.

1. Проверяем пропорции: AB/DE = 6/8 = ¾, BC/EF = 9/12 = ¾, AC/DF = 12/16 = ¾.
2. Все отношения равны, значит, ΔABC ~ ΔDEF по трём сторонам. Из выбранного порядка получаем соответствие A↔D, B↔E, C↔F.
3. Периметры равны PABC = 6 + 9 + 12 = 27 и PDEF = 8 + 12 + 16 = 36. Их отношение равно 27/36 = ¾, то есть коэффициенту подобия.

Ответ: ΔABC ~ ΔDEF, A↔D, B↔E, C↔F; PABC/PDEF = ¾.

Типичные ошибки

Неверный порядок сторон. Если сопоставить стороны случайно, отношения могут оказаться разными. Ошибку допускают, когда смотрят только на числа, не связывая их с вершинами. Проверьте, что порядок букв и порядок сторон совпадают.

Проверка только двух пар. Два совпавших отношения ещё не гарантируют пропорциональность третьей пары. Такой вывод часто делают по аналогии с другими признаками подобия. Всегда выписывайте и проверяйте третью дробь.

Равные или пропорциональные периметры. Один периметр не показывает, как распределены длины между сторонами. Поэтому равенство периметров само по себе не доказывает подобие. Сначала сравните все три соответствующие стороны.

Перепутан коэффициент. Число 2 и число ½ описывают одну пару треугольников, но при разном порядке. Подписывайте, какой треугольник стоит в числителе, и сверяйте результат с размером фигур.

Связь с другими темами

Перед изучением нужны отношения, пропорции и свойства пропорции, а также обозначения сторон и углов треугольника. Признак по трём сторонам дополняет признаки по двум углам и по двум сторонам и углу между ними. Подобие помогает находить неизвестные длины, решать задачи на масштаб и применять теорему Фалеса.

Что запомнить

• Для признака сравнивают три пары соответствующих сторон.
• Все три отношения соответствующих сторон должны быть равны.
• Равенство этих отношений гарантирует подобие треугольников.
• Порядок вершин в записи треугольника задаёт соответствие сторон.
• Коэффициент подобия зависит от того, какой треугольник считают первым.
• Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон.