§ 48. О подобии многоугольников

Определения и обозначения

Подобные многоугольники — это многоугольники, у которых равны сходственные углы, а длины сходственных сторон пропорциональны. Их форма одинакова, но размеры могут быть разными. Это понятие позволяет переносить известные свойства одной фигуры на другую.

Сходственные стороны — стороны, которые занимают одинаковое положение в двух многоугольниках после сопоставления их вершин. Например, AB и A₁B₁ являются сходственными, если вершины A и A₁, B и B₁ соответствуют друг другу. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно составлять пропорции.

Сходственные углы — углы, образованные парами сходственных сторон. При подобии каждый такой угол одного многоугольника равен соответствующему углу другого. Равенство углов подтверждает совпадение формы фигур.

Коэффициент подобия — отношение длин сходственных сторон, взятых в заранее выбранном порядке: k = a₁/a₂. Для всех пар сходственных сторон получается одно и то же число. По коэффициенту можно узнать, во сколько раз одна фигура больше или меньше другой.

Как это устроено

Сначала вершины двух многоугольников сопоставляют так, чтобы соседние вершины одного соответствовали соседним вершинам другого. Затем обе фигуры обходят в одном направлении, например по часовой стрелке. Если нарушить порядок, сторонам и углам будут приписаны неправильные пары, поэтому пропорции окажутся неверными.

Для подобия нужны два условия одновременно: равенство сходственных углов и пропорциональность сходственных сторон. Углы показывают, что форма фигур совпадает, а стороны — что размеры изменились во всех направлениях одинаково. Поэтому выполнение обоих условий позволяет считать многоугольники подобными.

Коэффициент находят делением длины стороны первого многоугольника на длину сходственной стороны второго. После этого полезно разделить остальные стороны в том же порядке. Если все отношения совпали с найденным k, соответствие выбрано верно и пропорциональность подтверждена.

Периметр складывается из длин всех сторон. При подобии каждая сторона умножается на одно и то же число k, значит, таким же образом изменяется и сумма сторон: P₁/P₂ = k. Поэтому по коэффициенту можно сразу сравнить периметры, не складывая все длины.

Площадь зависит от двух линейных размеров, например длины и ширины или основания и высоты. Если каждый размер увеличился в k раз, их произведение увеличилось в k² раз. Поэтому для площадей действует формула S₁/S₂ = k², а коэффициент по площадям находят извлечением квадратного корня.

Соотношения между подобными многоугольниками

В таблице сначала выбирают порядок сравнения фигур, а затем придерживаются его во всех отношениях. Если коэффициент меньше 1, первый многоугольник меньше второго; если больше 1 — больше. Для площадей коэффициент нужно возводить в квадрат.

Разбор задач

Задача 1. У четырёхугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁ сходственные углы равны. Длины сторон первого равны 6, 9, 12 и 15 см, а второго — 8, 12, 16 и 20 см. Определим, подобны ли эти четырёхугольники.

1. Сопоставим стороны в указанном порядке: AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CD и C₁D₁, DA и D₁A₁.
2. Вычислим отношения: 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 3/4.
3. Все отношения одинаковы, а сходственные углы по условию равны. Значит, оба условия подобия выполнены.

Ответ: четырёхугольники подобны; коэффициент подобия первого ко второму равен 3/4.

Задача 2. Сходственные стороны двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Сторона первого многоугольника равна 12 см. Найдём соответствующую сторону второго.

1. Запишем отношение в выбранном порядке: сторона первого/сторона второго = 3/5.
2. Составим пропорцию 12/x = 3/5 и перемножим крест-накрест: 3x = 60.
3. Разделим 60 на 3 и получим x = 20 см. Второй многоугольник больше первого, поэтому результат должен быть больше 12 см.

Ответ: соответствующая сторона второго многоугольника равна 20 см.

Задача 3. Площади двух подобных многоугольников относятся как 25:49. Найдём отношение периметров и сторону второго, если сходственная сторона первого равна 10 см.

1. Отношение площадей равно квадрату отношения сторон, поэтому k = √(49/25) = 7/5, если первым считаем меньший многоугольник.
2. Отношение периметров такое же: P₁/P₂ = 5/7. Это согласуется с тем, что второй многоугольник больше.
3. Составим 10/x = 5/7. Тогда 5x = 70, откуда x = 14 см.

Ответ: периметры относятся как 5:7, а соответствующая сторона второго многоугольника равна 14 см.

Типичные ошибки

Равные углы без проверки сторон. Ученик может решить, что равенства углов достаточно, потому что форма кажется одинаковой. Но стороны должны ещё и относиться с одним коэффициентом. Проверьте все пары сходственных сторон.

Неверный порядок сторон. Иногда сравнивают первую сторону одной фигуры со второй стороной другой. Тогда пропорции нарушаются не из-за отсутствия подобия, а из-за ошибки в соответствиях. Сначала выпишите пары вершин и только потом составляйте отношения.

Перевёрнутый коэффициент. Отношение 3/5 и 5/3 описывают разные направления сравнения. Подпишите, какой многоугольник стоит в числителе, и используйте этот порядок в каждой формуле.

Площади приравнивают к коэффициенту. Линейные размеры меняются в k раз, а площади — в k² раз. Если известны площади, сначала извлеките квадратный корень из их отношения. После этого полученное число можно использовать для сторон и периметров.

Связь с другими темами

Для работы с подобием нужны свойства пропорций, умение распознавать равные углы, а также правила нахождения периметра и площади многоугольника. Эти знания помогают не только вычислять, но и проверять правильность ответа.

Подобие применяется в задачах на масштаб, карты, планы и фотографии, где фигуры сохраняют форму, но имеют разные размеры. Оно также подготавливает к изучению подобия треугольников и помогает находить неизвестные длины по известным отношениям.

Что запомнить

• У подобных многоугольников равны сходственные углы.
• Длины сходственных сторон подобных многоугольников пропорциональны.
• Коэффициент подобия — отношение длин сходственных сторон.
• Отношение периметров равно коэффициенту подобия.
• Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.