"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Подобные многоугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. Это позволяет сравнивать их размеры не только по отдельным сторонам, но и по периметрам. Главное правило: отношение периметров равно отношению соответствующих сторон, если сравнивать многоугольники в одном порядке. Поэтому, зная периметр одной фигуры и коэффициент подобия, можно найти периметр другой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные многоугольники — многоугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, их форма одинакова, хотя размеры могут различаться. Определение помогает понять, когда можно применять правило об отношении периметров.
Соответственные стороны — стороны подобных многоугольников, занимающие одинаковое положение относительно равных углов. Например, если стороны расположены между соответствующими равными углами, они образуют пару. Нужно правильно определить такие пары, чтобы сравнивать именно стороны, связанные подобием.
Коэффициент подобия — отношение длины стороны одного многоугольника к длине соответствующей стороны другого. Порядок сравнения нужно оговорить: например, k = сторона второго : соответствующая сторона первого. При обратном порядке получится обратное число, поэтому обозначение помогает не перепутать расчёты.
Отношение периметров — частное от деления периметра одного многоугольника на периметр другого. Как и для коэффициента подобия, здесь важно указать, какой периметр делят на какой. Это отношение показывает, во сколько раз один периметр больше или меньше другого.
По определению подобия соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что при сравнении двух многоугольников отношение каждой пары соответствующих сторон имеет одно значение. Если сторона второго в k раз больше соответствующей стороны первого, то так же относятся все остальные стороны. Именно наличие одного общего числа позволяет перейти от отдельных сторон к периметрам.
Периметр многоугольника получают сложением длин всех его сторон. Пусть у первого многоугольника стороны равны a₁, b₁, c₁ и так далее, а у второго — a₂, b₂, c₂ и так далее. Если второй многоугольник в k раз больше первого, то a₂ = ka₁, b₂ = kb₁, c₂ = kc₁. Значит, в сумме для периметра второго можно заменить каждую сторону на соответствующую сторону первого, умноженную на k.
После такой замены получаем P₂ = ka₁ + kb₁ + kc₁ + … . Во всех слагаемых есть общий множитель k, поэтому его выносят за скобки: P₂ = k(a₁ + b₁ + c₁ + …). Сумма в скобках — это периметр первого многоугольника, значит, P₂ = kP₁. Отсюда следует правило: отношение периметров подобных многоугольников равно отношению соответствующих сторон, если оба отношения составлены в одном порядке.
В доказательстве не имеет значения, сколько сторон у многоугольника: после каждого соответствующего слагаемого всё равно стоит один и тот же множитель k. Неважны также конкретные очертания и размеры фигур: достаточно, чтобы они были подобными. Поэтому правило работает и для треугольников, и для четырёхугольников, и для многоугольников с большим числом сторон.
Перед вычислениями решите, в каком порядке сравниваете фигуры. Если k задан как отношение стороны второго многоугольника к стороне первого, то для периметров нужно составить P₂ : P₁. При сравнении первого со вторым берут обратные отношения: P₁ : P₂ и сторону первого делят на соответствующую сторону второго. Согласованный порядок не даст ошибиться, даже если коэффициент меньше единицы.
| Величина или свойство | Первый многоугольник | Второй многоугольник | Связь |
|---|---|---|---|
| Соответствующие стороны | a₁, b₁, … | a₂, b₂, … | a₂ : a₁ = b₂ : b₁ = … = k |
| Периметры | P₁ | P₂ | P₂ = kP₁ |
| Коэффициент подобия при сравнении первого со вторым | сторона первого | соответствующая сторона второго | k = сторона первого : сторона второго |
| Отношение периметров в том же порядке | P₁ | P₂ | P₁ : P₂ = k |
В таблице коэффициент k в двух последних строках задан при сравнении первого многоугольника со вторым, поэтому в числителе стоят величины первого. Сначала установите порядок сравнения, а затем придерживайтесь его и для сторон, и для периметров. Если сравниваете второй многоугольник с первым, все отношения нужно обратить.
Стороны двух подобных треугольников относятся как 3 : 5. Периметр меньшего треугольника равен 24 см. Найдём периметр большего. Отношение 3 : 5 задано от меньшего к большему, поэтому периметр большего должен быть в 5 : 3 раза больше.
Проверка: 40 : 24 = 5 : 3, как и должно быть при таком порядке сравнения. Значит, результат согласуется с отношением соответствующих сторон. Ответ: 40 см.
Соответствующие стороны первого четырёхугольника равны 4 см, 6 см, 7 см и 9 см. Сторона второго, соответствующая стороне 4 см, равна 10 см. Требуется найти периметр второго четырёхугольника. Сначала определим, во сколько раз второй многоугольник больше первого, а затем применим этот множитель ко всему периметру.
Найденный коэффициент подходит ко всем парам соответствующих сторон, потому что четырёхугольники подобны. Поэтому достаточно одной пары сторон, чтобы узнать масштаб, и периметра первого, чтобы вычислить второй. Ответ: 65 см.
Периметры подобных многоугольников равны 45 см и 72 см. Сторона первого многоугольника равна 15 см. Найдём длину соответствующей стороны второго. Поскольку спрашивают сторону второго, коэффициент перехода нужно составить как отношение второго периметра к первому.
Проверка порядка: второй периметр больше первого, значит, соответствующая сторона тоже должна быть длиннее 15 см. Полученные 24 см этому условию отвечают. Ответ: 24 см.
Возводить коэффициент в квадрат при сравнении периметров. Так иногда делают, путая периметр с площадью: площадь зависит от двух измерений, а периметр — от длин сторон. Проверьте, что сравниваете именно сумму длин, и применяйте коэффициент в первой степени.
Менять местами периметры, но не коэффициент. Ошибка возникает, когда числитель и знаменатель переставляют только в одном из отношений. Если перейти от P₂ : P₁ к P₁ : P₂, нужно так же обратить отношение соответствующих сторон; проверьте, что оба отношения записаны в одинаковом порядке.
Сравнивать несоответствующие стороны. Можно выбрать стороны просто потому, что они стоят рядом в записи, хотя при этом они не являются парой. Тогда коэффициент окажется неверным; сначала установите соответствие по равным углам и положению сторон, а затем проверьте, что другие пары дают то же отношение.
Применять правило к несходным многоугольникам. Само по себе наличие периметров не означает, что их отношение совпадает с отношением выбранных сторон. Это свойство следует из пропорциональности всех соответствующих сторон, гарантированной подобием; поэтому сначала убедитесь, что фигуры подобны.
Для этой темы нужны определение подобных многоугольников и умение находить отношения соответствующих сторон: именно они дают коэффициент подобия. Также необходимо уметь вычислять периметр как сумму длин всех сторон. Правило применяется в задачах на подобие, когда по масштабу одной фигуры находят размеры другой. Позже оно поможет отличить линейное изменение периметра от изменения площади подобных фигур.
Почему отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия?
У подобных многоугольников каждая соответствующая сторона умножается на одно и то же число. Периметр — сумма этих сторон, поэтому общий множитель можно вынести за скобки. В результате периметр изменяется в столько же раз, сколько соответствующие стороны.
Нужно ли возводить коэффициент подобия в квадрат при сравнении периметров?
Нет, периметры относятся как коэффициент подобия, без возведения в квадрат. Квадрат коэффициента используют при сравнении площадей подобных фигур.
Как найти периметр второго многоугольника, если известны периметр первого и коэффициент подобия?
Умножьте периметр первого многоугольника на коэффициент, если он задан как отношение стороны второго к соответствующей стороне первого. Например, при коэффициенте 2 периметр второго будет вдвое больше.
Как определить коэффициент подобия по периметрам?
Разделите периметр того многоугольника, к которому переходите, на периметр исходного. Например, если сравниваете второй с первым, вычислите P₂ : P₁. Порядок деления должен совпадать с порядком в коэффициенте подобия.
Можно ли применять это свойство к любым двум многоугольникам?
Нет, свойство гарантировано только для подобных многоугольников. У них соответствующие стороны пропорциональны с одним коэффициентом. У произвольных фигур периметры могут не иметь такого отношения.
§ 49. Отношение периметров подобных многоугольников
